Encontre o comprimento de arco da curva
entre os pontos adjacentes da sua intersecção com o eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva y = ln(2 cos x) entre duas interseções adjacentes com o eixo OX. Vamos usar o conteúdo de comprimento de arco de uma função y = f(x), que requer calcular f’(x) e montar a integral.
Passo 2
Primeiro, achamos os pontos de interseção resolvendo ln(2 cos x) = 0. Isso dá 2 cos x = 1, ou seja cos x = 1/2. As soluções adjacentes no intervalo em que a curva está definida são x = -π/3 e x = π/3
Agora, calculamos a derivada de y:
Agora, calculamos a derivada de y:
Passo 3
A fórmula do comprimento de arco é
Substituindo a derivada e os limites a = -π/3, b = π/3, temos
Passo 4
No intervalo [-π/3, π/3] temos cos x > 0, logo |sec x| = sec x. Assim
Passo 5
Em x = π/3, sec x = 2 e tan x = √3; em x = -π/3, sec x = 2 e tan x = -√3. Logo
Passo 6
Finalmente, simplificando a fração:
portanto o comprimento de arco é ln(7 + 4√3).