Encontre o comprimento de arco da curva y=ln (2 cos x) entre os pontos adjacentes da sua intersecção com o eixo O X.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva y = ln(2 cos x) entre duas interseções adjacentes com o eixo OX. Vamos usar o conteúdo de comprimento de arco de uma função y = f(x), que requer calcular f’(x) e montar a integral.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos de interseção resolvendo ln(2 cos x) = 0. Isso dá 2 cos x = 1, ou seja cos x = 1/2. As soluções adjacentes no intervalo em que a curva está definida são x = -π/3 e x = π/3
Agora, calculamos a derivada de y:
dydx = ddxl(ln(2cos x)r) = -2sin x2cos x = -tan x

Passo 3

A fórmula do comprimento de arco é
L = integrala^b raiz1 + l(tfracdydxr)^2,dx
Substituindo a derivada e os limites a = -π/3, b = π/3, temos
L = integral-pi/3^pi/3 raiz1 + tan^2 x,dx = integral-pi/3^pi/3 |sec x|,dx

Passo 4

No intervalo [-π/3, π/3] temos cos x > 0, logo |sec x| = sec x. Assim
L = integral-pi/3^pi/3 sec x,dx = l[ln|sec x + tan x|r]-pi/3^pi/3

Passo 5

Em x = π/3, sec x = 2 e tan x = √3; em x = -π/3, sec x = 2 e tan x = -√3. Logo
L = ln(2 + raiz3) - ln(2 - raiz3) = ln2 + raiz32 - raiz3

Passo 6

Finalmente, simplificando a fração:
2 + raiz32 - raiz3 = (2 + raiz3)^2 = 7 + 4raiz3,
portanto o comprimento de arco é ln(7 + 4√3).

Resposta

ln(7 + 4raiz3)

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