Mostre que para todos os valores reais de x :
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer mostrar que a série infinita envolvendo potências de
vale
. O conteúdo principal aqui é soma de progressão geométrica infinita.
Passo 2
Vamos definir
para simplificar a escrita. A série fica
onde cada termo a partir do segundo é obtido multiplicando o anterior por
.
Passo 3
Percebemos então que isso é uma progressão geométrica infinita de primeiro termo
e razão
. Para convergir precisamos de
, e como
temos
, logo converge.
Passo 4
Aplicando a fórmula da soma de uma PG infinita:
Substituindo de volta
, obtemos o resultado desejado.