Mostre que para todos os valores reais de x :
sen x-12 sen^2 x+14 sen^3 x-18 sen^4 x+ldots=2 sen x2+sen x

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer mostrar que a série infinita envolvendo potências de sin x
sin x - tfrac12sin^2 x + tfrac14sin^3 x - tfrac18sin^4 x + cdots
vale tfrac2sin x2+sin x. O conteúdo principal aqui é soma de progressão geométrica infinita.

Passo 2

Vamos definir t=sin x para simplificar a escrita. A série fica
t - tfrac12 t^2 + tfrac14 t^3 - tfrac18 t^4 + cdots
onde cada termo a partir do segundo é obtido multiplicando o anterior por -tfrac t2.

Passo 3

Percebemos então que isso é uma progressão geométrica infinita de primeiro termo a=t e razão r=-tfrac t2. Para convergir precisamos de |r|<1, e como |t|=|sin x|<=1 temos |r|=|t|/2<=1/2<1, logo converge.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma de uma PG infinita:
S=a1-r=t1-l(-tfrac t2r)=t1+tfrac t2=2t2+t
Substituindo de volta t=sin x, obtemos o resultado desejado.

Resposta

2sin x2+sin x

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