Determine o volume do sólido gerado pela rotação das funções abaixo em torno do eixo indicado.
y=x^3, x=y^2, em torno de x .

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y = x^3 e x = y^2 em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de volumes por método das arruelas (discos), e vamos precisar dos pontos de interseção, das funções y em termos de x para cada curva e da fórmula

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, substituímos y = x^3 em x = y^2, obtendo x = (x^3)^2 = x^6. Isso leva a x^6 - x = 0, ou seja, x(x^5 - 1) = 0. Logo, x = 0 ou x = 1. Os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).
Como vamos usar arruelas em torno do eixo x, expressamos as curvas como y em função de x. De x = y^2 vem y = raizx (parte superior no intervalo considerado) e de y = x^3 já temos y = x^3 (parte inferior para 0 <= x <= 1).

Passo 3

O volume do sólido é dado por arruelas de raio externo R(x) = raizx e interno r(x) = x^3. Assim,
V = pi integral0^1 l[R(x)^2 - r(x)^2r] ,dx = pi integral0^1 l(x - x^6r),dx

Passo 4

Agora, calculamos a integral:
integral0^1 (x - x^6),dx = [x^22 - x^77]0^1 = 12 - 17 = 514
Multiplicando por pi, o volume final é V = 5pi14.

Resposta

5pi14

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