Determine o volume do sólido gerado pela rotação das funções abaixo em torno do eixo indicado.
em torno de x .
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. O conteúdo é cálculo de volumes por método das arruelas (discos), e vamos precisar dos pontos de interseção, das funções
em termos de
para cada curva e da fórmula
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, substituímos
em
, obtendo
. Isso leva a
, ou seja,
. Logo,
ou
. Os pontos de interseção são
e
.
Como vamos usar arruelas em torno do eixo , expressamos as curvas como
em função de
. De
vem
(parte superior no intervalo considerado) e de
já temos
(parte inferior para
).
Como vamos usar arruelas em torno do eixo
Passo 3
O volume do sólido é dado por arruelas de raio externo
e interno
. Assim,
Passo 4
Agora, calculamos a integral:
Multiplicando por
, o volume final é
.