Calcule as integrais utilizando as substituições trigonométricas adequadas.
integral 1x^2 raizx^2-25 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 1x^2raizx^2-25,dx usando substituição trigonométrica. Esse tema envolve reconhecer a forma raizx^2-a^2 e usar a substituição adequada para simplificar a raiz.

Passo 2

Para tratar raizx^2-25 usamos x=5sectheta. Assim, temos: raizx^2-25=5tantheta e dx=5secthetatantheta,dtheta.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos:
integral 1x^2raizx^2-25,dx = integral 125sec^2thetacdot5tantheta,(5secthetatantheta),dtheta = integral sectheta25sec^2theta,dtheta

Passo 4

Agora simplificamos e integramos em theta:
integral sectheta25sec^2theta,dtheta = 125integral costheta,dtheta = 125sintheta + C

Passo 5

Por fim, voltamos para x. De x=5sectheta e tantheta=raizx^2-255 segue sintheta=tanthetasectheta=raizx^2-25x. Substituindo na primitiva em theta temos a resposta em x.

Resposta

raizx^2-2525,x+C

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