Um fio de comprimento
é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro um quadrado.
Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima?
Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima?
Passo 1
No enunciado, temos um fio de comprimento
que será cortado em dois pedaços para formar um círculo e um quadrado. O conteúdo é otimização usando derivadas: precisamos expressar as áreas do círculo e do quadrado em função de um parâmetro e então maximizar a soma dessas áreas.
Passo 2
Seja
o comprimento do fio usado para o círculo. Então o raio do círculo é
e sua área é
. O restante do fio, de comprimento
, forma um quadrado de lado
e área
Passo 3
A soma das áreas em função de
fica:
Passo 4
Para encontrar extremos, calculamos a derivada de
Igualando
temos
Passo 5
Resolvendo para
:
Passo 6
Calculando a segunda derivada:
logo esse ponto crítico é um mínimo de
. Os máximos ocorrem em extremos do intervalo
. Avaliando:
Passo 7
Como
, a área total é maior quando
, ou seja, todo o fio é usado no círculo.
Resposta
Usar todo o fio no círculo (comprimento para o círculo =
, para o quadrado = 0) para obter a soma das áreas máxima.