Um fio de comprimento m é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro um quadrado.
Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima?

Passo 1

No enunciado, temos um fio de comprimento m que será cortado em dois pedaços para formar um círculo e um quadrado. O conteúdo é otimização usando derivadas: precisamos expressar as áreas do círculo e do quadrado em função de um parâmetro e então maximizar a soma dessas áreas.

Passo 2

Seja x o comprimento do fio usado para o círculo. Então o raio do círculo é r = tfracx2pi e sua área é Ac = pi r^2 = tfracx^24pi. O restante do fio, de comprimento m - x, forma um quadrado de lado tfracm - x4 e área Aq = l(tfracm - x4r)^2 = tfrac(m - x)^216

Passo 3

A soma das áreas em função de x fica:
A(x) = x^24pi + (m - x)^216

Passo 4

Para encontrar extremos, calculamos a derivada de A(x)
A'(x) = ddxl(x^24pir) + ddxl((m - x)^216r) = x2pi - m - x8
Igualando A'(x)=0 temos
x2pi = m - x8

Passo 5

Resolvendo para x:
x,(8 + 2pi) = 2pi mRightarrow x = 2pi m8 + 2pi = pi m4 + pi

Passo 6

Calculando a segunda derivada:
A''(x) = 12pi + 18 > 0,
logo esse ponto crítico é um mínimo de A(x). Os máximos ocorrem em extremos do intervalo [0,m]. Avaliando:
A(0) = m^216, A(m) = m^24pi

Passo 7

Como tfrac14pi > tfrac116, a área total é maior quando x = m, ou seja, todo o fio é usado no círculo.

Resposta

Usar todo o fio no círculo (comprimento para o círculo = m, para o quadrado = 0) para obter a soma das áreas máxima.

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