Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenadas, pela curva
e pela reta
.
Em torno da reta
.
Em torno da reta
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta
, a região do primeiro quadrante limitada por
,
,
e
. O método mais direto aqui é o das cascas cilíndricas, pois a região é fácil de descrever em função de
.
Passo 2
Num elemento em
com espessura
, a casca tem:
– raio (distância da reta
),
– altura .
Então o volume infinitesimal é
– raio
– altura
Então o volume infinitesimal é
e o volume total é
Passo 3
Para calcular
separamos em
-
- Para
, fazemos integração por partes com , :
avaliando de 0 a 1 dá
Portanto
Passo 4
Substituindo em
, obtemos