Resolva as integrais:
\int\left(x^{2}-2 x+1\right) e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \bigl(x^{2}-2x+1\bigr)e^{2x}\,dx.
O conteúdo é integração de um polinômio vezes exponencial. Uma forma eficiente é assumir uma primitiva do tipo
F(x)=e^{2x}\bigl(Ax^{2}+Bx+C\bigr)
e determinar A,B,C por comparação de coeficientes.

Passo 2

Vamos derivar
F(x)=e^{2x}(Ax^{2}+Bx+C).
Como \bigl[e^{2x}P(x)\bigr]'=e^{2x}\bigl(P'(x)+2P(x)\bigr), temos
F'(x)=e^{2x}\bigl((2Ax+B)+2(Ax^{2}+Bx+C)\bigr).
Agrupando termos de mesma potência de x,
F'(x)=e^{2x}\bigl(2Ax^{2}+(2B+2A)x+(2C+B)\bigr).

Passo 3

Queremos que F'(x) seja igual ao integrando \,(x^{2}-2x+1)e^{2x}. Logo, igualamos os coeficientes:
2A=1,\quad 2B+2A=-2,\quad 2C+B=1.

Passo 4

Resolvendo o sistema:
2A =1\Rightarrow A=\tfrac12.
2B +2A=- 2\Rightarrow 2B+1=-2 B=-\tfrac32.
2 C+B =1\Rightarrow 2C-\tfrac32=1 2C=\tfrac52 C=\tfrac54.

Passo 5

Substituindo os valores em F(x), obtemos a primitiva
F(x) =e^{2x}\Bigl(\tfrac12x^{2}-\tfrac32x+\tfrac54\Bigr)+C.

Resposta

\int\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)e^{2x}\,dx =e^{2x}\Bigl(\tfrac12x^{2}-\tfrac32x+\tfrac54\Bigr)+C.

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