Determinar os pontos de máximo e de mínimo da função
sobre a elipse
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: a gente quer achar os pontos de máximo e mínimo da função
sujeitos à restrição da elipse
. O conteúdo é otimização com restrição e vamos usar multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Para aplicar multiplicadores de Lagrange, definimos a restrição
e impomos
.
Passo 3
Calculando os gradientes, temos
Logo as equações de Lagrange são
Passo 4
Agora examinamos os casos:
- Se
, da restrição vem , ou seja . Nesse caso . - Se
, da restrição vem , ou seja . Aqui . - Se
e , igualamos e , o que é impossível, pois não há que satisfaça .
Passo 5
Comparamos os valores de
:
. Assim
atinge o valor maior em
e o menor em
.
Resposta
Pontos de máximo:
com
. Pontos de mínimo:
com
.