Determinar os pontos de máximo e de mínimo da função f(x, y)=e^x^2+y^2 sobre a elipse 2 x^2+y^2=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: a gente quer achar os pontos de máximo e mínimo da função f(x,y)=e^x^2+y^2 sujeitos à restrição da elipse 2x^2+y^2=1. O conteúdo é otimização com restrição e vamos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Para aplicar multiplicadores de Lagrange, definimos a restrição g(x,y)=2x^2+y^2-1=0 e impomos nabla f=lambdanabla g.

Passo 3

Calculando os gradientes, temos
nabla f=(2x e^x^2+y^2,;2y e^x^2+y^2),nabla g=(4x,;2y)
Logo as equações de Lagrange são
2x e^x^2+y^2=4lambda x,2y e^x^2+y^2=2lambda y

Passo 4

Agora examinamos os casos:
  • Se x=0, da restrição vem y^2=1, ou seja y=pm1. Nesse caso f(0,pm1)=e^0+1=e.
  • Se y=0, da restrição vem 2x^2=1, ou seja x=pm1/raiz2. Aqui f(pm1/raiz2,0)=e^1/2=raiz e.
  • Se xneq0 e yneq0, igualamos lambda=e^x^2+y^2/2 e lambda=e^x^2+y^2, o que é impossível, pois não há e^x^2+y^2 que satisfaça 1/2=1.

Passo 5

Comparamos os valores de f: e>e^1/2. Assim f atinge o valor maior em (0,pm1) e o menor em (pm1/raiz2,0).

Resposta

Pontos de máximo: (0,pm1) com f=e. Pontos de mínimo: (pm1/raiz2,0) com f=e^1/2.

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