Determine o volume do sólido limitado acima pelo esfero de raio 2 centrado na origem e abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica acima do cone z=raizx^2+y^2 e abaixo da esfera de raio 2 centrada na origem. Esse problema usa o conteúdo de coordenadas esféricas para volumes em R^3.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, os pontos são dados por (rho,theta,varphi) com x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta e z=rhocosvarphi. A esfera x^2+y^2+z^2=4 vira
rho=2,
enquanto o cone z=raizx^2+y^2 vira
rhocosvarphi=rhosinvarphiimpliesvarphi=pi4

Passo 3

Como queremos a região acima do cone ( z>= r) e dentro da esfera, os limites são:
0<=theta<=2pi,0<=varphi<=tfracpi4,0<=rho<=2
O volume fica dado pela integral
V=integral0^2pi!integral0^pi/4!integral0^2 rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 4

Agora separa-se em três integrais:
integral0^2pidtheta=2pi,integral0^2rho^2drho=2^33=83,integral0^pi/4sinvarphi,dvarphi=1-cospi4=1-raiz22

Passo 5

Multiplicando tudo, obtemos
V=2picdot83cdotl(1-raiz22r)=16pi3-8raiz2,pi3=8pi3,(2-raiz2)

Resposta

O volume do sólido é V=8pi3,(2-raiz2).

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