Calcule integral duplaR y sen(x y) d x d y, onde R é o retângulo [0,1] times[pi / 2, pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=ysin(xy) sobre o retângulo R=[0,1]times[pi/2,,pi]. O conteúdo envolve integrais iteradas e uso de substituição para integrar em relação a x.

Passo 2

Primeiro, fixamos y e integramos em x:
integral0^1ysin(xy),dx
Fazemos a substituição t=xy, então dt=y,dx e quando x=0 temos t=0, e quando x=1 temos t=y. Assim

Passo 3

integral0^1ysin(xy),dx=integral0^ysin t,dt=-cos t|0^y=1-cos y

Passo 4

Agora integramos em y de pi/2 até pi:
integralpi/2^pi(1-cos y),dy=integralpi/2^pi1,dy-integralpi/2^picos y,dy
Calculando cada parte:
integralpi/2^pi1,dy=y|pi/2^pi=pi-pi2=pi2,
integralpi/2^picos y,dy=sin y|pi/2^pi=0-1=-1
Portanto a integral total é

Passo 5

pi2-(-1)=pi2+1

Resposta

pi2+1

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