Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano z=e^-(x^2+y^2) e abaixo pelo disco x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Estamos com um sólido cujo topo é dado pela superfície z = e^-(x^2+y^2),e e cuja base é o disco x^2+y^2<=1. O conteúdo da matéria é integração em coordenadas polares para obter volumes por duplo integral.

Passo 2

Para calcular o volume usamos a fórmula V=integral duplaD z,dA, onde D é o projeção no plano xy. Aqui z=e,e^-(x^2+y^2), então
V=integral duplax^2+y^2<=1 e,e^-(x^2+y^2),dA

Passo 3

Passamos para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta e o disco vira 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi. Então
V=eintegral0^2piintegral0^1 e^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

Na integral em r usamos a substituição u=r^2, du=2r,dr, logo r,dr=du/2. Assim
integral0^1 e^-r^2,r,dr=12integral0^1 e^-u,du=12l[1-e^-1r]

Passo 5

Substituindo de volta em V temos:
V=ecdot2picdot12l(1-e^-1r)=e,pil(1-tfrac1er)=pi(e-1)

Resposta

pi(e-1)

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