Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano z=4-x-y e abaixo pelo retângulo R=[0,2] times[0,2].

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o volume do sólido que fica acima do retângulo R = [0,2] × [0,2] no plano xy e abaixo da superfície z = 4 − x − y. O conteúdo aqui é o cálculo de volume usando integração dupla de uma função z = f(x,y).

Passo 2

Representamos o volume V como
V = integral duplaR (4 - x - y),dx,dy = integraly=0^2 integralx=0^2 (4 - x - y),dx,dy
A ideia é integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 3

Para cada y fixo, calculamos a integral em x:
integral0^2 (4 - x - y),dx = [4x - x^22 - yx]0^2 = (8 - 2 - 2y) = 6 - 2y

Passo 4

Agora integramos em y:
V = integral0^2 (6 - 2y),dy = [6y - y^2]0^2 = (12 - 4) = 8

Resposta

8

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