Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=25, pelo plano x+y+z=8 e pelo plano x y.
R.: 500+10 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=25, pelo plano x+y+z=8 e pelo plano xy (isto é, o plano z=0). Vamos tratar o problema como um volume por fatias verticais, projetando tudo no plano xy.

Passo 2

A projeção D do sólido no plano xy é o disco
D = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 25\}.

Passo 3

Para cada ponto (x,y)\in D, a altura do sólido é dada pela diferença entre o plano superior z=8 - x - y e o plano inferior z=0. Assim
V = \iint_{D}\bigl[(8 - x - y) - 0\bigr]\;\mathrm{d}A = \iint_{D}(8 - x - y)\;\mathrm{d}A.

Passo 4

Separemos a integral em três partes:
V = \iint_{D}8\,\mathrm{d}A \;-\;\iint_{D}x\,\mathrm{d}A \;-\;\iint_{D}y\,\mathrm{d}A.
Como D é o disco de raio 5, sua área é \pi\cdot5^{2}=25\pi, logo
\iint_{D}8\,\mathrm{d}A = 8\cdot 25\pi = 200\pi.
Pelas simetrias do disco em torno da origem, temos
\iint_{D}x\,\mathrm{d}A = 0 \quad\text{e}\quad \iint_{D}y\,\mathrm{d}A = 0.
Portanto
V = 200\pi - 0 - 0 = 200\pi.

Resposta

200\pi

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