Faça um esboço da região de integração e calcule as integrais sendo explícito se vai precisar mudar a ordem de integração.
\int_{0}^{2} \int_{\frac{y}{2}}^{1} y e^{x^{3}} d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração
D = \{(x,y)\mid 0\le y\le 2,\;\tfrac y2\le x\le 1\}
e calcular
\int_{0}^{2}\!\int_{y/2}^{1}y\,e^{x^3}\,dx\,dy.
Vamos usar mudança na ordem de integração porque não há primitiva elementar de e^{x^3} em x.

Passo 2

A região D é determinada por
  • 0\le y\le 2,
  • \tfrac y2\le x\le 1.
Em um esboço no plano xy:
  • A reta x= \tfrac y2 equivale a y=2x.
  • A reta vertical x=1.
  • A horizontal y=0 e y=2.
    Então D fica entre a reta y=2x (à esquerda) e x=1 (à direita), de y=0 até y=2.

Passo 3

Para inverter a ordem, identificamos para cada x fixo quais y valem:
\tfrac y2 \le x \;\Longleftrightarrow\; y\le 2x,
e sempre y\ge0. Como y\le2 e 2x cresce de 0 a 2 quando x vai de 0 a 1, obtemos
0\le x\le 1,\quad 0\le y\le 2x.
Logo
\int_{0}^{2}\!\int_{y/2}^{1}y\,e^{x^3}\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{2x}y\,e^{x^3}\,dy\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral interna em y:
\int_{0}^{2x}y\,e^{x^3}\,dy =e^{x^3}\,\int_{0}^{2x}y\,dy =e^{x^3}\,\bigl[\tfrac{y^2}{2}\bigr]_{0}^{2x} =e^{x^3}\,\frac{(2x)^2}{2} =2x^2\,e^{x^3}.
Portanto a dupla integral vira
\int_{0}^{1}2x^2\,e^{x^3}\,dx.

Passo 5

Para resolver
\int_{0}^{1}2x^2\,e^{x^3}\,dx
façamos u=x^3, então du=3x^2\,dx e x^2\,dx=du/3. Quando x=0\to u=0, e x=1\to u=1. Assim
\int_{0}^{1}2x^2\,e^{x^3}\,dx =2\int_{0}^{1}e^{u}\,\frac{du}{3} =\frac{2}{3}\int_{0}^{1}e^{u}\,du =\frac{2}{3}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} =\frac{2}{3}(e-1).

Resposta

\boxed{\frac{2}{3}(e-1)}.

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