Faça um esboço da região de integração e calcule as integrais sendo explícito se vai precisar mudar a ordem de integração.
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração
e calcular
Vamos usar mudança na ordem de integração porque não há primitiva elementar de
em
.
Passo 2
A região
é determinada por
-
, -
.
Em um esboço no plano
:
- A reta
equivale a . - A reta vertical
. - A horizontal
e .
Entãofica entre a reta (à esquerda) e (à direita), de até .
Passo 3
Para inverter a ordem, identificamos para cada
fixo quais
valem:
e sempre
. Como
e
cresce de
a
quando
vai de
a
, obtemos
Logo
Passo 4
Calculemos a integral interna em
:
Portanto a dupla integral vira
Passo 5
Para resolver
façamos
, então
e
. Quando
, e
. Assim