Encontre os pontos de máximo e mńimo absoluto de
em
.
Passo 1
O enunciado nos pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos da função
no conjunto
Como
é contínua e
é compacto, os extremos ocorrem em pontos críticos no interior de
ou na fronteira
. Vamos usar gradiente para o interior e multiplicadores de Lagrange para a fronteira.
Passo 2
No interior de
procuramos pontos onde
. Calculando
igualando a zero vem
Verificamos que
está no interior pois
Passo 3
Avaliaremos
nesse ponto crítico interior:
Passo 4
Na fronteira
aplicamos Lagrange: defina
e imponha
, ou seja
Isso gera o sistema
Passo 5
Do primeiro equação, ou
ou
. Se
, a segunda vira
, impossível. Logo
. Então na fronteira vem
, isto é
. Avaliando:
Resposta
O mínimo absoluto ocorre em
com valor
O máximo absoluto ocorre em
com valor