Encontre os pontos de máximo e mńimo absoluto de g(x, y)=x^{2}+y^{2}+y em A=\left\{f(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos da função
g(x,y)=x^{2}+y^{2}+y
no conjunto
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Como g é contínua e A é compacto, os extremos ocorrem em pontos críticos no interior de A ou na fronteira x^{2}+y^{2}=1. Vamos usar gradiente para o interior e multiplicadores de Lagrange para a fronteira.

Passo 2

No interior de A procuramos pontos onde \nabla g=0. Calculando
\frac{\partial g}{\partial x}=2x, \quad \frac{\partial g}{\partial y}=2y+1,
igualando a zero vem
2x=0\\ \Rightarrow\\ x=0, \quad 2y+1=0\\ \Rightarrow\\ y=-\tfrac12.
Verificamos que (0,-\tfrac12) está no interior pois
0^{2}+(-\tfrac12)^{2}=\tfrac14\le1.

Passo 3

Avaliaremos g nesse ponto crítico interior:
g\bigl(0,-\tfrac12\bigr) =0^{2}+\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2}+(-\tfrac12) =\tfrac14-\tfrac12 =-\tfrac14.

Passo 4

Na fronteira x^{2}+y^{2}=1 aplicamos Lagrange: defina
h(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0,
e imponha \nabla g=\lambda\nabla h, ou seja
(2x,\;2y+1)=\lambda\,(2x,\;2y).
Isso gera o sistema
2x=2\lambda x, \quad 2y+1=2\lambda y, \quad x^{2}+y^{2}=1.

Passo 5

Do primeiro equação, ou x=0 ou \lambda=1. Se \lambda=1, a segunda vira 2y+1=2y, impossível. Logo x=0. Então na fronteira vem y^{2}=1, isto é y=\pm1. Avaliando:
g(0,1)=0+1+1=2, \quad g(0,-1)=0+1-1=0.

Resposta

O mínimo absoluto ocorre em \bigl(0,-\tfrac12\bigr) com valor
g_{\min}=-\tfrac14.
O máximo absoluto ocorre em (0,1) com valor
g_{\max}=2.

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