Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro parabólico
, pelos planos coordenados e pelo plano
, no primeiro octante . Faça um esboço do sólido (2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro parabólico
, pelos planos coordenados
,
,
e pelo plano
, tudo no primeiro octante. O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla.
Passo 2
Para encontrar a projeção no plano
, note que
implica
ou seja
Também
. Logo a região de projeção é
Passo 3
Montamos a integral tripla para o volume
:
Passo 4
Integramos primeiro em
:
ficando
Passo 5
Agora integramos em
:
Assim
Passo 6
Finalmente, integramos em
:
Passo 7
Esboço do sólido:
-
Na direção
, o sólido vai de até . -
Para cada valor de
, na seção temos a parábola desde até , e a base no plano . -
O sólido é portanto a “extrusão” dessa parábola ao longo de
. z
↑ ____
| __/
4 + ‾’
|
|
0 ±---------------→ y
0 2
e estendido em
até
.
Resposta
O volume do sólido é
.