Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro parabólico z=4-y^2, pelos planos coordenados e pelo plano x=3, no primeiro octante . Faça um esboço do sólido (2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro parabólico z=4-y^2, pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano x=3, tudo no primeiro octante. O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla.

Passo 2

Para encontrar a projeção no plano xy, note que z>=0 implica
4 - y^2 >= 0
ou seja
y^2 <= 4 Longrightarrow 0 <= y <= 2
Também 0<= x<=3. Logo a região de projeção é
R = (x,y)mid 0<= x<=3,;0<= y<=2

Passo 3

Montamos a integral tripla para o volume V:
V = integralx=0^3integraly=0^2integralz=0^4-y^2dz;dy;dx

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integral0^4-y^2dz = 4 - y^2,
ficando
V = integralx=0^3integraly=0^2l(4 - y^2r),dy,dx

Passo 5

Agora integramos em y:
integral0^2(4 - y^2),dy = l[4y - tfracy^33r]0^2 = 8 - tfrac83 = tfrac163
Assim
V = integral0^3tfrac163,dx

Passo 6

Finalmente, integramos em x:
V = tfrac163integral0^3dx = tfrac163times 3 =16

Passo 7

Esboço do sólido:
  • Na direção x, o sólido vai de x=0 até x=3.
  • Para cada valor de x, na seção yz temos a parábola z=4-y^2 desde y=0 até y=2, e a base no plano z=0.
  • O sólido é portanto a “extrusão” dessa parábola ao longo de 0<= x<=3.
    z
    ↑ ____
    | __/
    4 + ‾’
    |
    |
    0 ±---------------→ y
    0 2
e estendido em x até x=3.

Resposta

O volume do sólido é 16.

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