Integre:
  1. integral0^1(x^2-2 x+7) d x
  2. integral0^2 2 x1+x^2 d x
  3. integralpi^2 pi sen(x+pi) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular três integrais definidas. O conteúdo principal é integração:
– (1) uso da regra do polinômio (power rule);
– (2) substituição em função racional cujo numerador é a derivada do denominador;
– (3) uso da identidade de seno com deslocamento e avaliação dos limites.

Passo 2

Para integral0^1(x^2-2x+7),dx, aplicamos a regra do polinômio. Uma antiderivada é
F(x)=x^33-x^2+7x
Então
integral0^1(x^2-2x+7),dx =F(1)-F(0) =l(1^33-1^2+7cdot1r)-0 =13-1+7 =13+6 =193

Passo 3

Para integral0^22x1+x^2,dx, note que u=1+x^2 implica du=2x,dx. Quando x=0, u=1; quando x=2, u=5. Assim
integral0^22x1+x^2,dx =integralu=1^51u,du =l[ln ur]1^5 =ln 5-ln 1 =ln 5

Passo 4

Para integralpi^2pisen(x+pi),dx, usamos sen(x+pi)=-sen x. Logo
integralpi^2pisen(x+pi),dx =-integralpi^2pisen x,dx =-l[-cos xr]pi^2pi =-l(-cos(2pi)+cos(pi)r) =-l(-1+(-1)r) =-(-2) =2

Resposta

  1. 193
  2. ln 5
  3. 2

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