Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas.
integral0^2 integral0^pi r sen theta d theta d r

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral iterada integral0^2integral0^pir,sintheta,dtheta,dr. O conteúdo é integração iterada: primeiro integramos em relação a theta e depois em relação a r.

Passo 2

Como a integral interna é em theta, tratamos r como constante e escrevemos
integral0^pir,sintheta,dtheta = rintegral0^pisintheta,dtheta
Sabemos pela primitiva de sintheta que
integral0^pisintheta,dtheta = l[-costhetar]0^pi = -cospi -l(-cos0r) = 2
Logo a integral interna vale 2r.

Passo 3

Substituímos o resultado na integral externa em r:
integral0^22r,dr

Passo 4

Calculamos a integral em r:
integral0^22r,dr = 2cdotr^22|0^2 = r^2|0^2 = 4

Resposta

4

Exercícios relacionados