Determine o volume do sólido limitado pela superfície
e pelos planos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado pela superfície
e pelos planos
,
,
,
e
. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta que nos ajuda a calcular volumes onde temos funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função que define a altura
do sólido:
. Aqui,
é a secante de
, que é
, e
é a tangente, que é
. A função
é similar, mas em relação a
. Nosso objetivo é integrar essa função sobre os limites dados para
e
.
Passo 3
Vamos montar a integral dupla para calcular o volume:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Então, a integral interna resulta em 1.
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 6
Vamos resolver essa integral em relação a
:
Sabemos que a derivada de
é
, então a integral é simplesmente
:
Passo 7
Calculando os valores:
Então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.