Determine o volume do sólido limitado pela superfície z=sec (x) tg(x) sec ^2(y) e pelos planos z=0, x=0, x=pi / 4, y=0, y=pi / 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado pela superfície z = sec(x) tan(x) sec^2(y) e pelos planos z = 0 , x = 0 , x = pi4 , y = 0 e y = pi4 . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta que nos ajuda a calcular volumes onde temos funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função que define a altura z do sólido: z = sec(x) tan(x) sec^2(y) . Aqui, sec(x) é a secante de x , que é 1cos(x) , e tan(x) é a tangente, que é sin(x)cos(x) . A função sec^2(y) é similar, mas em relação a y . Nosso objetivo é integrar essa função sobre os limites dados para x e y .

Passo 3

Vamos montar a integral dupla para calcular o volume:
V = integralx=0^pi4 integraly=0^pi4 sec(x) tan(x) sec^2(y) , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a y e depois em relação a x .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a y :
integral0^pi4 sec^2(y) , dy
Sabemos que a integral de sec^2(y) é tan(y) , então:
tan(pi4) - tan(0) = 1 - 0 = 1
Então, a integral interna resulta em 1.

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
V = integral0^pi4 sec(x) tan(x) cdot 1 , dx = integral0^pi4 sec(x) tan(x) , dx

Passo 6

Vamos resolver essa integral em relação a x :
integral sec(x) tan(x) , dx
Sabemos que a derivada de sec(x) é sec(x) tan(x) , então a integral é simplesmente sec(x) :
sec(pi4) - sec(0)

Passo 7

Calculando os valores:
sec(pi4) = 1cos(pi4) = 1raiz22 = raiz2
sec(0) = 1cos(0) = 1
Então:
raiz2 - 1

Resposta

O volume do sólido é raiz2 - 1 unidades cúbicas.

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