(1,5 pontos) Se lim x 1 k(x^5-1)6 x^5-4 x^3+x-3=50, encontre o valor de k.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um limite matemático:
limx 1 k(x^5-1)6x^5-4x^3+x-3 = 50
O conteúdo aqui envolve cálculo de limites e álgebra, especialmente manipulação de funções polinomiais. Precisamos descobrir o valor de k que faz esse limite dar 50.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando x se aproxima de 1. Se a gente simplesmente substituir x = 1 na expressão, pode rolar uma divisão por zero, então precisamos verificar se isso acontece.
Calculando o numerador e o denominador em x = 1 :
Numerador:
k(1^5 - 1) = k(1 - 1) = k cdot 0 = 0
Denominador:
6(1^5) - 4(1^3) + 1 - 3 = 6 - 4 + 1 - 3 = 0
Então, de fato, temos 00 , uma indeterminação. Para resolver isso, podemos usar o Teorema de L’Hôpital, que nos diz que se temos 00, podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite dessas derivadas.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a x .
Derivada do numerador:
ddx [k(x^5 - 1)] = k cdot ddx (x^5 - 1) = k cdot 5x^4 = 5k x^4
Derivada do denominador:
ddx [6x^5 - 4x^3 + x - 3] = 30x^4 - 12x^2 + 1
Agora, o limite fica:
limx 1 5k x^430x^4 - 12x^2 + 1

Passo 4

Agora, podemos substituir x = 1 na nova expressão, já que não temos mais a indeterminação:
5k (1)^430(1)^4 - 12(1)^2 + 1 = 5k30 - 12 + 1 = 5k19
Sabemos que esse limite deve ser igual a 50, então temos:
5k19 = 50

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar k :
Multiplicando ambos os lados por 19:
5k = 50 times 19
5k = 950
Agora, dividindo ambos os lados por 5:
k = 9505 = 190

Resposta

O valor de k é 190.

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