(1,5 pontos) Se
, encontre o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um limite matemático:
O conteúdo aqui envolve cálculo de limites e álgebra, especialmente manipulação de funções polinomiais. Precisamos descobrir o valor de
que faz esse limite dar 50.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 1. Se a gente simplesmente substituir
na expressão, pode rolar uma divisão por zero, então precisamos verificar se isso acontece.
Calculando o numerador e o denominador em
:
Numerador:
Denominador:
Então, de fato, temos
, uma indeterminação. Para resolver isso, podemos usar o Teorema de L’Hôpital, que nos diz que se temos
, podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite dessas derivadas.
Passo 3
Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, o limite fica:
Passo 4
Agora, podemos substituir
na nova expressão, já que não temos mais a indeterminação:
Sabemos que esse limite deve ser igual a 50, então temos:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por 19:
Agora, dividindo ambos os lados por 5:
Resposta
O valor de
é 190.