( 1,5 ponto) Considere x como a variável independente e y como a variável dependente e use a derivação implícita para encontrar a inclinação m da reta tangente no ponto (1,6) determinado pela curva x^4 y^2-5 x^4 y=6. Determine o valor de: |m-7|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um exercício de derivação implícita. A gente vai trabalhar com cálculo, especificamente com derivadas de funções que não estão isoladas em termos de $ y $. Precisamos encontrar a inclinação $ m $ da reta tangente à curva no ponto $ (1,6) $ definida por $ x^{4} y^{2} - 5x^{4} y = 6 $. Depois disso, vamos calcular o valor de $ |m - 7| $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivação implícita. Quando temos uma equação envolvendo $ x $ e $ y $ que não está resolvida para $ y $ (ou seja, $ y $ não está isolado), usamos a derivação implícita para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, que é a inclinação da tangente à curva naquele ponto.

Passo 3

Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação $ x^{4} y^{2} - 5x^{4} y = 6 $ em relação a $ x $. Lembre-se que $ y $ é uma função de $ x $, então quando diferenciamos termos que envolvem $ y $, precisamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 4

Diferenciando $ x^{4} y^{2} $:
Usamos a regra do produto:
x^4 y^2
ddx(x^4 y^2) = ddx(x^4) cdot y^2 + x^4 cdot ddx(y^2)

Passo 5

Diferenciando $ -5x^{4} y $:
Novamente, aplicamos a regra do produto:
-5x^4 y
ddx(-5x^4 y) = -5 cdot ddx(x^4) cdot y -5x^4 cdot ddx(y)

Passo 6

Diferenciando o lado direito $ 6 $:
A derivada de uma constante é zero:
6

Passo 7

Agora, juntando tudo:
4x^3 y^2 + 2x^4 y dydx -20x^3 y -5x^4 dydx = 0

Passo 8

Vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $. Primeiro, reúna os termos que contêm $ \frac{dy}{dx} $:
dydx

Passo 9

Fatorando $ \frac{dy}{dx} $ no lado esquerdo:
dydx

Passo 10

Agora, isolamos $ \frac{dy}{dx} $:
dydx

Passo 11

Simplificando a expressão:
dydx = x^3 (-4y^2 + 20y)x^4 (2y - 5)
= -4y^2 + 20yx (2y - 5)

Passo 12

Agora, vamos substituir o ponto $ (1,6) $ na expressão para encontrar $ m $:
(1,6)

Passo 13

Por último, calculamos $ |m - 7| $:
|m - 7|

Resposta

O valor de $ |m - 7| $ é $ \frac{73}{7} $.

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