( 1,5 ponto) Considere
como a variável independente e y como a variável dependente e use a derivação implícita para encontrar a inclinação
da reta tangente no ponto
determinado pela curva
. Determine o valor de: |m-7|.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um exercício de derivação implícita. A gente vai trabalhar com cálculo, especificamente com derivadas de funções que não estão isoladas em termos de $ y $. Precisamos encontrar a inclinação $ m $ da reta tangente à curva no ponto $ (1,6) $ definida por $ x^{4} y^{2} - 5x^{4} y = 6 $. Depois disso, vamos calcular o valor de $ |m - 7| $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é derivação implícita. Quando temos uma equação envolvendo $ x $ e $ y $ que não está resolvida para $ y $ (ou seja, $ y $ não está isolado), usamos a derivação implícita para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, que é a inclinação da tangente à curva naquele ponto.
Passo 3
Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação $ x^{4} y^{2} - 5x^{4} y = 6 $ em relação a $ x $. Lembre-se que $ y $ é uma função de $ x $, então quando diferenciamos termos que envolvem $ y $, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Passo 4
Diferenciando $ x^{4} y^{2} $:
Usamos a regra do produto:
Passo 5
Diferenciando $ -5x^{4} y $:
Novamente, aplicamos a regra do produto:
Passo 6
Diferenciando o lado direito $ 6 $:
A derivada de uma constante é zero:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Passo 8
Vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $. Primeiro, reúna os termos que contêm $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 9
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $ no lado esquerdo:
Passo 10
Agora, isolamos $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 11
Simplificando a expressão:
Passo 12
Agora, vamos substituir o ponto $ (1,6) $ na expressão para encontrar $ m $:
Passo 13
Por último, calculamos $ |m - 7| $:
Resposta
O valor de $ |m - 7| $ é $ \frac{73}{7} $.