Determine o volume do sólido limitado superiormente pela superfície indicada e inferiormente pelo plano
sobre a região
.
, onde
é o disco
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A superfície superior é
. - A superfície inferior é o plano
. - A região
no plano é o disco (ou seja, raio centrado na origem).
O que o problema pede:
- Determinar o volume do sólido limitado acima por
e abaixo por sobre a região .
Passo 2
Forma matemática do volume: o volume sob uma superfície
acima de uma região
é dado pela integral dupla
Aqui
. Logo
Isso significa somar (integrar) a altura
sobre cada pedacinho de área
da região
.
Passo 3
Escolha de coordenadas: como a região
é um disco centrado na origem e a integranda depende de
, é muito mais simples usar coordenadas polares. Fazemos a mudança
onde
e
varia ao longo do círculo. Nessa mudança:
-
. - A área elementar transforma-se como
. Explicando o : o fator é o jacobiano da transformação polar e corresponde ao ajuste do tamanho do pedacinho de área quando passamos de retângulos para anéis .
Portanto a integranda
vira
e
vira
, ou seja o integrando total passa a ser
.
Passo 4
Limites de integração em polares: o disco
corresponde a
e
. Assim o volume vira
Passo 5
Calcule a integral interna em
:
Passo 6
Agora a integral em
:
Passo 7
Observação geral (útil na prova): para um paraboloide
sobre um disco de raio
o volume geral é
No nosso caso
, então
, consistente com o cálculo anterior.