Determine o volume do sólido limitado superiormente pela superfície indicada e inferiormente pelo plano z=0 sobre a região R.
z=x^{2}+y^{2}, onde R é o disco x^{2}+y^{2} \leq 4.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A superfície superior é z=x^{2}+y^{2}.
  • A superfície inferior é o plano z=0.
  • A região R no plano xy é o disco x^{2}+y^{2}\leq 4 (ou seja, raio 2 centrado na origem).
O que o problema pede:
  • Determinar o volume do sólido limitado acima por z=x^{2}+y^{2} e abaixo por z=0 sobre a região R.

Passo 2

Forma matemática do volume: o volume sob uma superfície z=f(x,y) acima de uma região R é dado pela integral dupla
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Logo
V=\iint_{R} (x^{2}+y^{2})\,dA.
Isso significa somar (integrar) a altura z sobre cada pedacinho de área dA da região R.

Passo 3

Escolha de coordenadas: como a região R é um disco centrado na origem e a integranda depende de x^{2}+y^{2}, é muito mais simples usar coordenadas polares. Fazemos a mudança
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta varia ao longo do círculo. Nessa mudança:
  • x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • A área elementar transforma-se como dA = r\,dr\,d\theta. Explicando o r: o fator r é o jacobiano da transformação polar e corresponde ao ajuste do tamanho do pedacinho de área quando passamos de retângulos dx\,dy para anéis dr\,d\theta.
Portanto a integranda x^{2}+y^{2} vira r^{2} e dA vira r\,dr\,d\theta, ou seja o integrando total passa a ser r^{2}\cdot r = r^{3}.

Passo 4

Limites de integração em polares: o disco x^{2}+y^{2}\le 4 corresponde a 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi. Assim o volume vira
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcule a integral interna em r:
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4}-0=\frac{16}{4}=4.

Passo 6

Agora a integral em \theta:
V=\int_{0}^{2\pi} 4\,d\theta = 4\cdot\left[\theta\right]_{0}^{2\pi}=4\cdot 2\pi = 8\pi.

Passo 7

Observação geral (útil na prova): para um paraboloide z=r^{2} sobre um disco de raio a o volume geral é
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} r^{3}\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{a^{4}}{4} = \frac{\pi a^{4}}{2}.
No nosso caso a=2, então V=\dfrac{\pi\cdot 2^{4}}{2}=8\pi, consistente com o cálculo anterior.

Resposta

\,8\pi

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