Determine o volume do sólido obtido com a rotação das regiões limitadas pelas retas e as curvas em torno do eixo
.
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado ao rotacionar em torno do eixo
a região do primeiro quadrante limitada pela curva
pelo eixo
e pela reta horizontal
.
Como o contorno inferior não está dado, assumimos que a região inicia em .
O conteúdo principal é o método dos discos (ou anéis) para rotação em torno de eixo vertical.
Como o contorno inferior não está dado, assumimos que a região inicia em
O conteúdo principal é o método dos discos (ou anéis) para rotação em torno de eixo vertical.
Passo 2
Precisamos descrever a região no plano
. Para cada
entre
e
, o valor de
varia de
Logo, a região é
Passo 3
Ao rotacionar em torno do eixo
, cada fatia horizontal em nível
gera um disco de raio
e espessura
. O volume de um disco é
. Portanto,
Passo 4
Colocamos em evidência a constante:
Para calcular
,
usamos a antiderivada conhecida:
usamos a antiderivada conhecida:
Passo 5
Agora aplicamos o teorema fundamental:
Logo,