Determine o volume do sólido obtido com a rotação das regiões limitadas pelas retas e as curvas em torno do eixo y.
x=\frac{\sqrt{2}}{y^{2}+1}, \quad x=0, \quad y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado ao rotacionar em torno do eixo y a região do primeiro quadrante limitada pela curva
x = \frac{\sqrt{2}}{y^{2}+1},
pelo eixo x=0 e pela reta horizontal y=1.
Como o contorno inferior não está dado, assumimos que a região inicia em y=0.
O conteúdo principal é o método dos discos (ou anéis) para rotação em torno de eixo vertical.

Passo 2

Precisamos descrever a região no plano (x,y). Para cada y entre 0 e 1, o valor de x varia de
x_{\min}=0 \quad\text{até}\quad x_{\max}=\frac{\sqrt{2}}{y^{2}+1}.é
Logo, a região é
\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;0\le x\le \tfrac{\sqrt2}{y^2+1}\}.

Passo 3

Ao rotacionar em torno do eixo y, cada fatia horizontal em nível y gera um disco de raio
R(y)=x_{\max}=\frac{\sqrt{2}}{y^{2}+1}
e espessura dy. O volume de um disco é \pi R(y)^2\,dy. Portanto,
V = \int_{y=0}^{1} \pi \bigl[R(y)\bigr]^{2}\,dy = \pi \int_{0}^{1} \left(\frac{\sqrt{2}}{y^{2}+1}\right)^{2} dy = \pi \int_{0}^{1} \frac{2}{(y^{2}+1)^{2}}\,dy.

Passo 4

Colocamos em evidência a constante:
V = 2\pi \int_{0}^{1} \frac{1}{(y^{2}+1)^{2}}\,dy.
Para calcular
\displaystyle \int \frac{1}{(y^{2}+1)^{2}}\,dy,
usamos a antiderivada conhecida:
\int \frac{1}{(y^{2}+1)^{2}}\,dy = \frac{y}{2\,(y^{2}+1)} + \frac{1}{2}\arctan(y) + C.

Passo 5

Agora aplicamos o teorema fundamental:
\int_{0}^{1} \frac{1}{(y^{2}+1)^{2}}\,dy =\left[\frac{y}{2(y^{2}+1)} + \frac{1}{2}\arctan(y)\right]_{0}^{1} =\left(\frac{1}{2\cdot2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}\right) -\bigl(0 + 0\bigr) = \frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}.
Logo,
V = 2\pi\Bigl(\frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi^{2}}{4}.

Resposta

V = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi^{2}}{4}.

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