Usando o método da casca ou anel, determine o volume do sólido obtido com a rotação da região em torno dos eixos dados:
A região no primeiro quadrante limitada por x=y-y^{3} e pelo eixo y em torno: do eixo x; da reta y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar, no primeiro quadrante, a região limitada pela curva
x = y - y^{3}
e pelo eixo y (ou seja, x=0), em torno de dois eixos horizontais: o eixo x e a reta y=1.
Para resolver, usamos o método das cascas cilíndricas, tomando fatias horizontais de espessura \mathrm{d}y. Em cada fatia, a “altura” da casca é x(y)=y-y^{3} e o “raio” depende do eixo de rotação.

Passo 2

Rotação em torno do eixo x:
  • Raio da casca: distância vertical de um ponto de ordenada y até o eixo x, isto é, R(y)=y.
  • Altura da casca: H(y)=x(y)=y-y^{3}.
  • Espessura: \mathrm{d}y.
Pelo método das cascas cilíndricas, o elemento de volume é
\mathrm{d}V = 2\pi \,R(y)\,H(y)\,\mathrm{d}y = 2\pi\,y\,(y-y^{3})\,\mathrm{d}y.

Passo 3

Integramos de y=0 a y=1:
V_{x} = 2\pi \int_{0}^{1} y\,(y-y^{3})\,\mathrm{d}y = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(y^{2}-y^{4}\bigr)\,\mathrm{d}y = 2\pi\Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}-\tfrac{y^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{1} = 2\pi\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}\Bigr) = \tfrac{4\pi}{15}.

Passo 4

Rotação em torno da reta y=1:
  • Raio da casca: distância vertical de y até y=1, isto é, R(y)=1-y.
  • Altura da casca: permanece H(y)=y-y^{3}.
  • Espessura: \mathrm{d}y.
O elemento de volume é
\mathrm{d}V = 2\pi\,R(y)\,H(y)\,\mathrm{d}y = 2\pi\,(1-y)\,(y-y^{3})\,\mathrm{d}y.

Passo 5

Integramos novamente de 0 a 1:
V_{y=1} = 2\pi \int_{0}^{1}(1-y)(y-y^{3})\,\mathrm{d}y = 2\pi \int_{0}^{1}\bigl(y - y^{2} - y^{3} + y^{4}\bigr)\,\mathrm{d}y = 2\pi\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}-\tfrac{y^{3}}{3}-\tfrac{y^{4}}{4}+\tfrac{y^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{1} = 2\pi\Bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}\Bigr) = \tfrac{7\pi}{30}.

Resposta

Volume ao redor do eixo x: \displaystyle \tfrac{4\pi}{15}.
Volume ao redor da reta y=1: \displaystyle \tfrac{7\pi}{30}.

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