Usando o método da casca ou anel, determine o volume do sólido obtido com a rotação da região em torno dos eixos dados:
A região no primeiro quadrante limitada por
e pelo eixo
em torno: do eixo
; da reta
.
A região no primeiro quadrante limitada por
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar, no primeiro quadrante, a região limitada pela curva
e pelo eixo
(ou seja,
), em torno de dois eixos horizontais: o eixo
e a reta
.
Para resolver, usamos o método das cascas cilíndricas, tomando fatias horizontais de espessura . Em cada fatia, a “altura” da casca é
e o “raio” depende do eixo de rotação.
Para resolver, usamos o método das cascas cilíndricas, tomando fatias horizontais de espessura
Passo 2
Rotação em torno do eixo
:
- Raio da casca: distância vertical de um ponto de ordenada
até o eixo , isto é, . - Altura da casca:
. - Espessura:
.
Pelo método das cascas cilíndricas, o elemento de volume é
Passo 3
Integramos de
a
:
Passo 4
Rotação em torno da reta
:
- Raio da casca: distância vertical de
até , isto é, . - Altura da casca: permanece
. - Espessura:
.
O elemento de volume é
Passo 5
Integramos novamente de
a
:
Resposta
Volume ao redor do eixo
:
.
Volume ao redor da reta :
.
Volume ao redor da reta