Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
do conjunto
e
.
Passo 1
A questão pede o volume do sólido que a gente obtém ao girar em torno do eixo Ox o conjunto A definido por 0≤xy≤2, x²+y²≤5 e x>0. O conteúdo é volume de sólidos de revolução e vamos precisar usar a fórmula de disco/anel: V=π∫[raio(t)]² dt.
Passo 2
Primeiro, entenda a região em (x,y): como x>0 e 0≤xy≤2, isso implica y≥0 e y≤2/x. Além disso, pela circunferência, temos y²≤5−x², ou seja y≤√(5−x²). Então para cada x>0 a parte de y vai de 0 até f(x)=min{√(5−x²),2/x}.
Passo 3
Precisamos achar onde √(5−x²)=2/x para separar intervalos. Fazendo 5−x²=4/x², multiplica por x²: x⁴−5x²+4=0, cujas raízes são x²=1 ou x²=4. Como x>0, x=1 ou x=2. Esses valores garantem continuidade de f(x).
Passo 4
Logo, f(x) é definida em três partes: para 0<x<1, √(5−x²)<2/x, então f(x)=√(5−x²); para 1<x<2, 2/x<√(5−x²), logo f(x)=2/x; e para 2<x<√5, de novo √(5−x²)<2/x, então f(x)=√(5−x²).
Passo 5
Aplicando a fórmula de volume por discos: V=π ∫₀^{√5} [f(x)]² dx. Como f(x) é peça por peça, dividimos em três integrais:
[ V=π ( ∫₀¹ (5−x²) dx + ∫₁² (2/x)² dx + ∫₂^{√5} (5−x²) dx ) ].
[ V=π ( ∫₀¹ (5−x²) dx + ∫₁² (2/x)² dx + ∫₂^{√5} (5−x²) dx ) ].
Passo 6
Calcule cada integral: ∫₀¹(5−x²)dx = [5x−x³/3]₀¹ = 5−1/3 = 14/3.
∫₁²4/x² dx = 4[−1/x]₁² = 4(−1/2+1) = 2.
∫₂^{√5}(5−x²)dx = [5x−x³/3]₂^{√5} = (10√5/3−22/3).
∫₁²4/x² dx = 4[−1/x]₁² = 4(−1/2+1) = 2.
∫₂^{√5}(5−x²)dx = [5x−x³/3]₂^{√5} = (10√5/3−22/3).
Passo 7
Somando: 14/3 + 2 + (10√5/3−22/3) = (10√5−2)/3. Multiplicando por π, o volume final é V = (π/3)(10√5−2).
Resposta
V = \frac{\pi}{3}\bigl(10\sqrt5 - 2\bigr)