Calcule a integral:
integral cos x ln (sen x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cos x,ln(sin x),dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, então vamos precisar lembrar da fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para a integração por partes assim: u = ln(sin x) e dv = cos x,dx. Dessa forma, a parte u contém o logaritmo e dv é fácil de integrar.

Passo 3

Calculamos du e v): derivando u temos du = ddx[ln(sin x)],dx = cos xsin x,dx = cot x,dx. Integrando dv obtemos v = integral cos x,dx = sin x.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de partes:
integral cos x,ln(sin x),dx = u,v - integral v,du

Passo 5

Substituindo u, v, du temos:
sin x,ln(sin x) - integral sin x,cot x,dx

Passo 6

Como sin x,cot x = sin xcdotcos xsin x = cos x, a integral vira:
sin x,ln(sin x) - integral cos x,dx

Passo 7

Integrando cos x obtemos sin x, então o resultado final fica:
sin x,ln(sin x) - sin x + C

Resposta

sin x,ln(sin x) - sin x + C

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