(1,5 ponto) Seja F(x)=integral1^x^2-1 18raiz1+u d u. Calcule F^prime(18)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função $ F(x) = \int_{1}{x{2}-1} \frac{18}{\sqrt{1+u}} , du $ e precisamos descobrir qual é a derivada dessa função quando $ x = 18 $, ou seja, encontrar $ F’(18) $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia. Esses conceitos nos ajudam a derivar funções definidas por integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma função definida por uma integral como $ F(x) = \int_{a}^{g(x)} f(u) , du $, então a derivada de $ F $ em relação a $ x $ é:
F(x) = integrala^g(x) f(u) , du
Isso significa que para derivar $ F(x) $, precisamos avaliar a função dentro da integral no limite superior $ g(x) $ e multiplicar pela derivada desse limite superior.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é $ f(u) = \frac{18}{\sqrt{1+u}} $ e o limite superior é $ g(x) = x^{2} - 1 $. Vamos aplicar o teorema:
f(u) = 18raiz1+u

Passo 4

Agora, vamos simplificar isso. Primeiro, simplificamos dentro da raiz:
1 + (x^2 - 1) = x^2
Então, a expressão fica:
F'(x) = 18raizx^2 cdot ddx(x^2 - 1)
Sabemos que $ \sqrt{x^{2}} = |x| $, mas como estamos trabalhando com $ x = 18 $ que é positivo, podemos simplificar para $ x $.
Também, a derivada de $ x^{2} - 1 $ em relação a $ x $ é:
raizx^2 = |x|

Passo 5

Substituindo essas simplificações na expressão de $ F’(x) $:
F'(x)
Os $ x $ no numerador e denominador se cancelam:
F'(x) = 18x cdot 2x

Resposta

Portanto, $ F’(18) = 36 $.

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