Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região compreendida entre o eixo y e a curva x=2 / y, 1 <= y <= 4.
SOLUÇÃO Desenhamos figuras mostrando a região, um raio típico e o sólido gerado (Figura 6.11). O volume é
V & =integral1^4 pi[R(y)]^2 d y & =integral1^4 pi(2y)^2 d y & =pi integral1^4 4y^2 d y=4 pi[-1y]1^4=4 pi[34] & =3 pi

Passo 1

A gente tem uma região no plano limitada pelo eixo y (que é a reta x=0), pela curva x=2/y e pelas retas horizontais y=1 e y=4. Como o sólido é obtido girando essa região em torno do eixo y, vamos usar o método dos discos: cada seção transversal no nível y é um círculo de raio igual à abscissa da curva.

Passo 2

Para aplicar o método dos discos, identificamos o raio do disco em função de y. Como a fronteira externa da região é x=2/y, o raio é R(y)=2/y. Assim, o volume pode ser escrito como a integral
V=integraly=1^y=4pil[R(y)r]^2,dy

Passo 3

Substituindo R(y)=2/y na fórmula, fica
V=integral1^4pi(2y)^2,dy =piintegral1^44y^2,dy =4piintegral1^4y^-2,dy

Passo 4

Agora calculamos a integral de y^{-2}. A antiderivada é -y^{-1}. Logo,
4piintegral1^4y^-2,dy=4pil[-y^-1r]1^4 =4pil(-tfrac14+1r)

Passo 5

Basta simplificar:
4pil(1-tfrac14r)=4picdottfrac34=3pi
Portanto, o volume do sólido é 3π.

Resposta

V = 3\pi

Exercícios relacionados