Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo
, da região compreendida entre o eixo
e a curva
.
SOLUÇÃO Desenhamos figuras mostrando a região, um raio típico e o sólido gerado (Figura 6.11). O volume é
SOLUÇÃO Desenhamos figuras mostrando a região, um raio típico e o sólido gerado (Figura 6.11). O volume é
Passo 1
A gente tem uma região no plano limitada pelo eixo y (que é a reta x=0), pela curva x=2/y e pelas retas horizontais y=1 e y=4. Como o sólido é obtido girando essa região em torno do eixo y, vamos usar o método dos discos: cada seção transversal no nível y é um círculo de raio igual à abscissa da curva.
Passo 2
Para aplicar o método dos discos, identificamos o raio do disco em função de y. Como a fronteira externa da região é x=2/y, o raio é R(y)=2/y. Assim, o volume pode ser escrito como a integral
Passo 3
Substituindo R(y)=2/y na fórmula, fica
Passo 4
Agora calculamos a integral de y^{-2}. A antiderivada é -y^{-1}. Logo,
Passo 5
Basta simplificar:
Portanto, o volume do sólido é 3π.
Resposta
V = 3\pi