Sabendo que as coordenadas do centro de massa de uma lamina ocupando a região
e tendo função densidade
são
e
onde
, calculemos nos caso seguintes tais coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício sobre centro de massa de uma lámina. O objetivo é encontrar as coordenadas
e
do centro de massa para uma região retangular
que vai de
a
em
e de
a
em
. A densidade da lámina é dada por
. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais duplas e as fórmulas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a massa total
da lámina. A massa é calculada integrando a função densidade sobre toda a região
. A fórmula é:
Substituindo
, temos:
Como a região
é retangular, podemos escrever a integral dupla como produto de duas integrais simples:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Passo 3
Primeiro, calculemos
:
Agora, calculemos
:
Passo 4
Agora, multiplicamos os resultados das integrais e multiplicamos por
para encontrar a massa
:
Passo 5
Agora que temos a massa, vamos encontrar
, a coordenada
do centro de massa. A fórmula é:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos calcular a integral
:
Primeiro,
:
Já sabemos que
do Passo 3. Então:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na fórmula de
:
Lembrando que
, podemos substituir:
Passo 8
De forma semelhante, vamos calcular
, a coordenada
do centro de massa:
Calculando a integral
:
Primeiro,
do Passo 3.
Agora,
.
Então:
Passo 9
Substituindo na fórmula de
:
Resposta
As coordenadas do centro de massa da lámina são: