Sabendo que as coordenadas do centro de massa de uma lamina ocupando a região D e tendo função densidade rho(x, y) são
barx=1m integral duplaD x rho(x, y) d A
e
bary=1m integral duplaD y rho(x, y) d A
onde m=integral duplaD rho(x, y) d A, calculemos nos caso seguintes tais coordenadas.
D=(x, y) ; 0 <= x <= a e 0 <= y <= b ; rho(x, y)=c x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício sobre centro de massa de uma lámina. O objetivo é encontrar as coordenadas barx e bary do centro de massa para uma região retangular D que vai de 0 a a em x e de 0 a b em y. A densidade da lámina é dada por rho(x, y) = cxy. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais duplas e as fórmulas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a massa total m da lámina. A massa é calculada integrando a função densidade sobre toda a região D. A fórmula é:
m = integral duplaD rho(x, y) , dA
Substituindo rho(x, y) = cxy, temos:
m = integral duplaD cxy , dA
Como a região D é retangular, podemos escrever a integral dupla como produto de duas integrais simples:
m = c integral0^a x , dx integral0^b y , dy
Vamos calcular cada integral separadamente.

Passo 3

Primeiro, calculemos integral0^a x , dx:
integral0^a x , dx = [ x^22 ]0^a = a^22 - 0 = a^22
Agora, calculemos integral0^b y , dy:
integral0^b y , dy = [ y^22 ]0^b = b^22 - 0 = b^22

Passo 4

Agora, multiplicamos os resultados das integrais e multiplicamos por c para encontrar a massa m:
m = c cdot a^22 cdot b^22 = c cdot a^2 b^24 = c a^2 b^24

Passo 5

Agora que temos a massa, vamos encontrar barx, a coordenada x do centro de massa. A fórmula é:
barx = 1m integral duplaD x rho(x, y) , dA
Substituindo rho(x, y) = cxy:
barx = 1m integral duplaD x cdot cxy , dA = cm integral duplaD x^2 y , dA

Passo 6

Vamos calcular a integral integral duplaD x^2 y , dA:
integral duplaD x^2 y , dA = integral0^a x^2 , dx integral0^b y , dy
Primeiro, integral0^a x^2 , dx:
integral0^a x^2 , dx = [ x^33 ]0^a = a^33
Já sabemos que integral0^b y , dy = b^22 do Passo 3. Então:
integral duplaD x^2 y , dA = a^33 cdot b^22 = a^3 b^26

Passo 7

Agora, substituímos de volta na fórmula de barx:
barx = cm cdot a^3 b^26
Lembrando que m = c a^2 b^24, podemos substituir:
barx = cc a^2 b^24 cdot a^3 b^26 = 4a^2 b^2 cdot a^3 b^26 = 4a6 = 2a3

Passo 8

De forma semelhante, vamos calcular bary, a coordenada y do centro de massa:
bary = 1m integral duplaD y rho(x, y) , dA = cm integral duplaD x y^2 , dA
Calculando a integral integral duplaD x y^2 , dA:
integral duplaD x y^2 , dA = integral0^a x , dx integral0^b y^2 , dy
Primeiro, integral0^a x , dx = a^22 do Passo 3.
Agora, integral0^b y^2 , dy = [ y^33 ]0^b = b^33.
Então:
integral duplaD x y^2 , dA = a^22 cdot b^33 = a^2 b^36

Passo 9

Substituindo na fórmula de bary:
bary = cm cdot a^2 b^36 = cc a^2 b^24 cdot a^2 b^36 = 4a^2 b^2 cdot a^2 b^36 = 4b6 = 2b3

Resposta

As coordenadas do centro de massa da lámina são:
( barx, bary ) = ( 2a3, 2b3 )

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