Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
do conjunto
e .
e .
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo Ox a região A definida por x>0, y≤1 e 1/x≤y≤4/x². O conteúdo aqui é volume por método das arruelas (discos com orifício), que exige escrever uma integral em x subtraindo área do círculo interno da área do círculo externo.
Passo 2
Para ter a região não vazia, resolvemos 1/x≤1 ⇒ x≥1 e 1/x≤4/x² ⇒ x≤4. Logo x∈[1,4]. Além disso, quando x∈[1,2] temos 4/x²≥1 (logo o limite superior de y é 1) e para x∈[2,4] temos 4/x²≤1 (o limite superior é 4/x²).
Passo 3
Montamos a integral do volume V como soma das duas partes:
Passo 4
Calculamos cada parte separadamente:
Para x∈[1,2],
Para x∈[1,2],
logo V₁=π·½=π/2.
Para x∈[2,4],
Para x∈[2,4],
logo V₂=π·(1/3)=π/3.
Passo 5
Chamando V=V₁+V₂, temos V=π/2+π/3.