Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto
e .

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo Ox a região A definida por x>0, y≤1 e 1/x≤y≤4/x². O conteúdo aqui é volume por método das arruelas (discos com orifício), que exige escrever uma integral em x subtraindo área do círculo interno da área do círculo externo.

Passo 2

Para ter a região não vazia, resolvemos 1/x≤1 ⇒ x≥1 e 1/x≤4/x² ⇒ x≤4. Logo x∈[1,4]. Além disso, quando x∈[1,2] temos 4/x²≥1 (logo o limite superior de y é 1) e para x∈[2,4] temos 4/x²≤1 (o limite superior é 4/x²).

Passo 3

Montamos a integral do volume V como soma das duas partes:
V=integral1^2pil(1^2-l(1/xr)^2r)dx+integral2^4pil((4/x^2)^2-l(1/xr)^2r)dx

Passo 4

Calculamos cada parte separadamente:
Para x∈[1,2],
integral1^2(1-x^-2)dx=[x+x^-1]1^2=tfrac12,
logo V₁=π·½=π/2.
Para x∈[2,4],
integral2^4(16x^-4-x^-2)dx=l[-tfrac163x^-3+x^-1r]2^4=tfrac13,
logo V₂=π·(1/3)=π/3.

Passo 5

Chamando V=V₁+V₂, temos V=π/2+π/3.

Resposta

5pi/6

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