Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto
A=(x, y) in R^2 mid y >= raizx e(x-1)^2+y^2 <= 1,

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo Ox a região do plano definida por y ≥ √x e (x−1)² + y² ≤ 1. Vamos usar o método dos discos (ou anéis), que consiste em fatiar o sólido perpendicularmente ao eixo de rotação e subtrair área interna de área externa em cada fatia.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, achamos onde a curva y = √x intersecta a circunferência (x−1)² + y² = 1. Substituindo y² = x em (x−1)² + x = 1, obtemos x² − x = 0, ou seja x = 0 e x = 1, com pontos de interseção (0,0) e (1,1).
Analisando as funções para x ∈ [0,1], verifica-se que a semicircunferência superior yₑₓₜ(x) = √[1−(x−1)²] está acima de yᵢₙₜ(x) = √x. Para x fora desse intervalo não há região comum. Logo, 0 ≤ x ≤ 1 e √x ≤ y ≤ √[1−(x−1)²].

Passo 3

Ao rotacionar em torno de Ox, cada fatia em x gera um disco externo de raio yₑₓₜ e disco interno de raio yᵢₙₜ. Assim o volume é
V = pi integral0^1l(yext^2 - yint^2r),dx = pi integral0^1l([1-(x-1)^2] - xr),dx = pi integral0^1(x - x^2),dx

Passo 4

Basta calcular a integral:
V = pi l[x^22 - x^33r]0^1 = pil(tfrac12 - tfrac13r) = pi6

Resposta

pi6

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