Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
do conjunto
,
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo Ox a região do plano definida por y ≥ √x e (x−1)² + y² ≤ 1. Vamos usar o método dos discos (ou anéis), que consiste em fatiar o sólido perpendicularmente ao eixo de rotação e subtrair área interna de área externa em cada fatia.
Passo 2
Para encontrar os limites de integração, achamos onde a curva y = √x intersecta a circunferência (x−1)² + y² = 1. Substituindo y² = x em (x−1)² + x = 1, obtemos x² − x = 0, ou seja x = 0 e x = 1, com pontos de interseção (0,0) e (1,1).
Analisando as funções para x ∈ [0,1], verifica-se que a semicircunferência superior yₑₓₜ(x) = √[1−(x−1)²] está acima de yᵢₙₜ(x) = √x. Para x fora desse intervalo não há região comum. Logo, 0 ≤ x ≤ 1 e √x ≤ y ≤ √[1−(x−1)²].
Analisando as funções para x ∈ [0,1], verifica-se que a semicircunferência superior yₑₓₜ(x) = √[1−(x−1)²] está acima de yᵢₙₜ(x) = √x. Para x fora desse intervalo não há região comum. Logo, 0 ≤ x ≤ 1 e √x ≤ y ≤ √[1−(x−1)²].
Passo 3
Ao rotacionar em torno de Ox, cada fatia em x gera um disco externo de raio yₑₓₜ e disco interno de raio yᵢₙₜ. Assim o volume é
Passo 4
Basta calcular a integral: