Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto
e ,

Passo 1

O exercício pede para calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo Ox da região A definida por 0≤x≤2 e e{-x}≤y≤e{x}. O conteúdo é volume por revolução, usando o método dos discos (ou aros) e a fórmula geral V=piintegrala^bl[R(x)^2 - r(x)^2r],dx.

Passo 2

Identificamos as curvas que limitam A: a fronteira superior é y=e^x e a inferior é y=e^-x. Ao girar em torno do eixo Ox, o raio externo do disco é R(x)=e^x e o raio interno é r(x)=e^-x.

Passo 3

Montamos a integral do volume substituindo R(x) e r(x):
V=piintegral0^2l[R(x)^2 - r(x)^2r] ,dx =piintegral0^2l(e^2x - e^-2xr),dx

Passo 4

Calculamos a integral indefinida de cada termo: integral e^2xdx=tfrac12e^2x e integral e^-2xdx=-tfrac12e^-2x. Assim,
integral0^2(e^2x-e^-2x),dx = l[tfrac12e^2x + tfrac12e^-2xr]0^2

Passo 5

Avaliando nos limites 0 e 2: em x=2 dá tfrac12(e^4+e^-4), em x=0 dá tfrac12(1+1)=1. A diferença é tfrac12(e^4+e^-4) - 1. Multiplicando por pi, obtemos o volume final.

Resposta

V=pi2l(e^4+e^-4-2r)

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