Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
do conjunto
e ,
e ,
Passo 1
O exercício pede para calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo Ox da região A definida por 0≤x≤2 e e{-x}≤y≤e{x}. O conteúdo é volume por revolução, usando o método dos discos (ou aros) e a fórmula geral
.
Passo 2
Identificamos as curvas que limitam A: a fronteira superior é
e a inferior é
. Ao girar em torno do eixo Ox, o raio externo do disco é
e o raio interno é
.
Passo 3
Montamos a integral do volume substituindo
e
:
Passo 4
Calculamos a integral indefinida de cada termo:
e
. Assim,
Passo 5
Avaliando nos limites 0 e 2: em x=2 dá
, em x=0 dá
. A diferença é
. Multiplicando por
, obtemos o volume final.