Sejam f(x, y)=x^3x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) e f(0,0)=0.
(a) Mostre que f é contínua no ponto p0=(0,0).
(b) Seja u=(a, b) um vetor unitário qualquer. Mostre que partial fpartial u(0,0)=a^3.
(c) Mostre que f não é diferenciável no ponto p0=(0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede:
(a) mostrar que f é contínua em (0,0);
(b) calcular a derivada direcional de f em (0,0) na direção do vetor unitário vec u=(a,b);
(c) mostrar que f não é diferenciável em (0,0).
Os conteúdos que vamos usar são definições de limite em Bbb R^2, derivada direcional e diferenciabilidade.

Passo 2

Queremos provar lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0). Para (x,y)neq(0,0),
l|f(x,y)r| =|x|^3x^2+y^2 =|x|^3x^2+y^2cdot1x^2,x^2 <=|x|^3x^2=l|xr|
Então, sempre que raizx^2+y^2<de<a temos lvert f(x,y)rvert<=|x|<=raizx^2+y^2<de<a. Logo, dado varepsilon>0, basta escolher de<a=varepsilon para ter lvert f(x,y)-0rvert<varepsilon. Assim f é contínua em (0,0).

Passo 3

A derivada direcional de f em (0,0) na direção vec u=(a,b) é
partial fpartialvec u(0,0) =limtto0f(0+ta,,0+tb)-f(0,0)t =limtto0f(ta,tb)t
Para tneq0, como a^2+b^2=1,
f(ta,tb) =(ta)^3(ta)^2+(tb)^2 =t^3a^3t^2(a^2+b^2) =t,a^3
Dividindo por t e fazendo tto0
partial fpartialvec u(0,0) =limtto0t,a^3t =a^3

Passo 4

Para verificar diferenciabilidade em (0,0) procuraríamos um mapa linear
,L(h,k)=Ah+Bk tal que
f(h,k)-f(0,0)-L(h,k) = f(h,k)-Ah-Bk =ol(raizh^2+k^2r)
Os coeficientes A,B seriam as derivadas parciais em (0,0), isto é A=partial f/partial x(0,0)=1 e B=partial f/partial y(0,0)=0. Logo L(h,k)=h.
O resíduo é
R(h,k)=f(h,k)-h =h^3h^2+k^2-h =hl(h^2h^2+k^2-1r) =-hcdotk^2h^2+k^2
Dividindo por raizh^2+k^2 e tomando a norma,
|R(h,k)|raizh^2+k^2 =|h|,k^2(h^2+k^2)^3/2
Se escolhemos a reta k=h, então
|R(h,h)|raiz2h^2 =|h|;h^2(2h^2)^3/2 =|h|^32raiz2,|h|^3 =12raiz2neq0
independente de hto0. Portanto esse quociente não tende a zero e f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) f é contínua em (0,0).
(b) partial fpartial vec u(0,0)=a^3.
(c) f não é diferenciável em (0,0).

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