Sejam se e .
(a) Mostre que é contínua no ponto .
(b) Seja um vetor unitário qualquer. Mostre que .
(c) Mostre que não é diferenciável no ponto .
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
(a) mostrar que f é contínua em (0,0);
(b) calcular a derivada direcional de f em (0,0) na direção do vetor unitário vec u=(a,b);
(c) mostrar que f não é diferenciável em (0,0).
Os conteúdos que vamos usar são definições de limite em Bbb R^2, derivada direcional e diferenciabilidade.
Passo 2
Queremos provar lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0). Para (x,y)neq(0,0),
Então, sempre que raizx^2+y^2<de<a temos lvert f(x,y)rvert<=|x|<=raizx^2+y^2<de<a. Logo, dado varepsilon>0, basta escolher de<a=varepsilon para ter lvert f(x,y)-0rvert<varepsilon. Assim f é contínua em (0,0).
Passo 3
A derivada direcional de f em (0,0) na direção vec u=(a,b) é
Os coeficientes A,B seriam as derivadas parciais em (0,0), isto é A=partial f/partial x(0,0)=1 e B=partial f/partial y(0,0)=0. Logo L(h,k)=h.
O resíduo é