Determine o volume do sólido do primeiro octante compreendido pelo paraboloide
e o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você quer descobrir o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde x, y e z são todos positivos) e que está limitado pelo paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ e pelo plano $ z = 4 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de volumes usando integrais múltiplas, e provavelmente vamos trocar para coordenadas polares para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde o paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ e o plano $ z = 4 $ se encontram. Para encontrar essa interseção, basta igualar as duas equações:
Isso nos diz que a interseção ocorre quando $ x^{2} + y^{2} = 4 $, que é um círculo de raio 2 no plano xy.
Passo 3
Como estamos lidando com um círculo e temos simetria em relação à origem, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Lembre-se que em coordenadas polares, $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $, e $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $. No primeiro octante, os limites para $ \theta $ vão de 0 a $ \frac{\pi}{2} $ (ou 90 graus), e para $ r $ vão de 0 a 2.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. O volume $ V $ pode ser expresso como uma integral dupla:
Aqui, $ 4 - r^{2} $ é a diferença entre o plano e o paraboloide, que nos dá a “altura” do sólido em cada ponto, e $ r , dr , d\theta $ é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ r $:
Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ \theta $:
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante é $ 2\pi $ unidades cúbicas.