Determine o volume do sólido do primeiro octante compreendido pelo paraboloide z=x^2+y^2 e o plano z=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você quer descobrir o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde x, y e z são todos positivos) e que está limitado pelo paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ e pelo plano $ z = 4 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de volumes usando integrais múltiplas, e provavelmente vamos trocar para coordenadas polares para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde o paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ e o plano $ z = 4 $ se encontram. Para encontrar essa interseção, basta igualar as duas equações:
z = x^2 + y^2
Isso nos diz que a interseção ocorre quando $ x^{2} + y^{2} = 4 $, que é um círculo de raio 2 no plano xy.

Passo 3

Como estamos lidando com um círculo e temos simetria em relação à origem, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Lembre-se que em coordenadas polares, $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $, e $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $. No primeiro octante, os limites para $ \theta $ vão de 0 a $ \frac{\pi}{2} $ (ou 90 graus), e para $ r $ vão de 0 a 2.

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. O volume $ V $ pode ser expresso como uma integral dupla:
V
Aqui, $ 4 - r^{2} $ é a diferença entre o plano e o paraboloide, que nos dá a “altura” do sólido em cada ponto, e $ r , dr , d\theta $ é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ r $:
r
Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ \theta $:
integral0^2 (4r - r^3) , dr = [ 2r^2 - 14r^4 ]0^2 = ( 2(2)^2 - 14(2)^4 ) - 0 = (8 - 4) = 4

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante é $ 2\pi $ unidades cúbicas.

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