Um trapézio possui bases de 12 cm e 6 cm e tem altura igual a 15 cm . Traçando as diagonais, determine as áreas dos quatro triângulos em que o trapézio ficou dividido.

Passo 1

O enunciado pede para achar as áreas dos quatro triângulos em que um trapézio de bases 12 cm e 6 cm e altura 15 cm fica dividido pelas suas diagonais. O conteúdo envolve área de triângulos e a propriedade de como as diagonais de um trapézio são divididas em razão das bases.

Passo 2

Vamos colocar o trapézio em um sistema de coordenadas: A=(0,0), B=(12,0) são os extremos da base maior; D=(d,15), C=(d+6,15) são os extremos da base menor (6 cm), com d arbitrário. As diagonais AC e BD se cruzam em E. Igualando A+u→AC = B+v→BD, obtemos u=v=12/(12+6)=2/3, ou seja, AE/EC = AB/CD = 12/6.

Passo 3

Para calcular a área de ΔAEB usamos determinante de vetores:
Área(AEB)=tfrac12l|detl(AB,AEr)r|=tfrac12,12,l(tfrac12cdot1512+6r)=144cdot152cdot18=60,cm^2Á
De modo análogo, para ΔCDE a área é
Área(CDE)=tfrac12,6,l|15-tfrac12cdot1518r|=36cdot152cdot18=15,cm^2Á

Passo 4

As outras duas figuras são ΔBEC e ΔAED. Pode-se verificar que
Área(BEC)=Área(AED)=12cdot6cdot152(12+6)=30,cm^2ÁÁ

Resposta

As áreas são 60 cm², 30 cm², 30 cm² e 15 cm².

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