No triângulo A B C, retângulo em A, os catetos medem b e c. O ponto D da hipotenusa é tal que A D é bissetriz do ângulo reto. Mostre que A D=b c raiz2b+c.

Passo 1

No triângulo ABC retângulo em A, com catetos medindo b e c, vamos usar geometria analítica. Precisamos conhecer coordenadas, equações de reta, interseção de retas e a fórmula de distância entre pontos.

Passo 2

Posicionamos o vértice A na origem, B em (b,0) e C em (0,c). Como os lados AB e AC coincidem com os eixos x e y, a bissetriz do ângulo reto ( 90^circ) é a reta y=x.

Passo 3

A reta BC que passa por B e C tem equação:
y = -cbx + c
Para achar D, resolvemos a interseção com y=x. Igualando:
x = -cbx + c
resulta em x = bcb+c. Logo
.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da distância entre A e D:
AD = raizl(bcb+cr)^2 + l(bcb+cr)^2 = raiz2,l(bcb+cr)^2 = bcraiz2b+c

Resposta

AD = bcraiz2b+c

Exercícios relacionados