Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
(h) y=\frac{1}{x}, x=0, y=\frac{1}{4} e y=4; ao redor do eixo y;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = \tfrac{1}{x}, x = 0, y = \tfrac{1}{4} e y = 4 em torno do eixo y.
Conteúdo: método dos discos (ou “fatias”) para volumes de revolução.

Passo 2

Para usar o método dos discos em torno de y, expressamos a fronteira lateral em função de y. Da equação
y = \frac{1}{x}
segue
x = \frac{1}{y}.
Num corte horizontal a uma altura y, o ponto mais à direita da região está em x = 1/y e o mais à esquerda em x = 0.

Passo 3

Ao girar esse segmento horizontal em torno do eixo y, obtemos um disco de raio
R(y) = \frac{1}{y}.
A área desse disco é
A(y) = \pi\bigl[R(y)\bigr]^2 = \pi \frac{1}{y^2}.

Passo 4

O volume total é a integral dessa área de y = \tfrac{1}{4} até y = 4:
V = \int_{y=\frac14}^{4} A(y)\,dy = \pi \int_{\frac14}^{4} \frac{1}{y^2}\,dy.

Passo 5

Calculamos a integral
\int \frac{1}{y^2}\,dy = \int y^{-2}\,dy = -\,\frac{1}{y}.
Logo
V = \pi \Bigl[-\tfrac{1}{y}\Bigr]_{y=\frac14}^{4} = \pi\Bigl(-\tfrac{1}{4} - \bigl(-4\bigr)\Bigr) = \pi\bigl(4 - \tfrac{1}{4}\bigr) = \frac{15\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{15\pi}{4}

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