Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
(e) y=x^{3}, x=-1, x=1 e y=0; ao redor do eixo x;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada por y=x^3, x=-1, x=1 e y=0. Este exercício envolve o cálculo de volume por revolução usando o método dos discos.

Passo 2

Para cada x\in[-1,1], a região vai de y=0 até y=x^3. Ao girar em torno do eixo x, gera-se um disco de raio igual à distância vertical entre essas curvas, isto é \lvert x^3\rvert. Assim, o volume é dado por
V = \int_{-1}^{1} \pi \bigl(\lvert x^3\rvert\bigr)^2 \, dx.

Passo 3

Como \lvert x^3\rvert^2 = x^6, calculamos
V = \pi \int_{-1}^{1} x^6 \, dx = \pi \biggl[\frac{x^7}{7}\biggr]_{-1}^{1} = \pi\Bigl(\frac{1}{7} - \bigl(-\frac{1}{7}\bigr)\Bigr) = \frac{2\pi}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{7}

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