Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
(c) y=x+1, x=0, x=2 e y=0; ao redor do eixo x;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região do plano limitada por \;y = x + 1,\;x = 0,\;x = 2 e \;y = 0.
O conteúdo é cálculo de volume por revolução usando o método dos discos (ou anéis).

Passo 2

Ao girar em torno do eixo x, cada fatia vertical em x gera um disco de raio externo \;R(x)=y_{\text{topo}}=x+1 e raio interno \;r(x)=y_{\text{bottom}}=0.
A área da seção é
A(x)=\pi\bigl[R(x)^2-r(x)^2\bigr]=\pi\bigl(x+1\bigr)^2.

Passo 3

O volume total é a integral das áreas das seções de x=0 até x=2:
V = \int_{0}^{2} A(x)\,dx = \int_{0}^{2} \pi\bigl(x+1\bigr)^{2}\,dx.

Passo 4

Para integrar, note que
\int (x+1)^{2}\,dx = \int u^{2}\,du \quad(\text{com }u=x+1) = \frac{u^{3}}{3} = \frac{(x+1)^{3}}{3}.

Passo 5

Avalia-mos de 0 a 2:
V = \pi\left[\frac{(x+1)^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \pi\Bigl(\tfrac{3^{3}}{3}-\tfrac{1^{3}}{3}\Bigr) = \pi\Bigl(\tfrac{27-1}{3}\Bigr) = \frac{26\pi}{3}.

Resposta

V = \frac{26\pi}{3}.

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