Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelo gráfico de
e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado ao girar, em torno do eixo $ x $, a região limitada pelas curvas $ y = \frac{1}{2} + x^{2} $, $ y = x $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que faz parte do cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas para entender qual delas está por cima e qual está por baixo no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 2 $. Comparando $ y = \frac{1}{2} + x^{2} $ e $ y = x $, percebemos que para esses valores de $ x $, a parábola $ y = \frac{1}{2} + x^{2} $ está sempre acima da linha reta $ y = x $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o volume de um sólido de revolução em torno do eixo $ x $ pode ser calculado usando a fórmula dos anéis:
onde $ f(x) $ é a função de cima e $ g(x) $ é a função de baixo.
Passo 4
Identificando as funções na nossa situação:
- $ f(x) = \frac{1}{2} + x^{2} $ (função de cima)
- $ g(x) = x $ (função de baixo)
- Intervalo de integração: $ a = 0 $, $ b = 2 $
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos expandir o termo $ \left( \frac{1}{2} + x^{2} \right)^{2} $:
Então, a expressão dentro da integral fica:
Passo 7
Agora, a integral simplificada é:
Vamos calcular essa integral:
Passo 8
Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
Simplificando:
Passo 9
Vamos somar as frações:
Então,
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ \frac{69}{10} \pi $ unidades cúbicas.