Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região delimitada pelo gráfico de y=12+x^2, y=x, x=0 e x=2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado ao girar, em torno do eixo $ x $, a região limitada pelas curvas $ y = \frac{1}{2} + x^{2} $, $ y = x $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que faz parte do cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas para entender qual delas está por cima e qual está por baixo no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 2 $. Comparando $ y = \frac{1}{2} + x^{2} $ e $ y = x $, percebemos que para esses valores de $ x $, a parábola $ y = \frac{1}{2} + x^{2} $ está sempre acima da linha reta $ y = x $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o volume de um sólido de revolução em torno do eixo $ x $ pode ser calculado usando a fórmula dos anéis:
x
onde $ f(x) $ é a função de cima e $ g(x) $ é a função de baixo.

Passo 4

Identificando as funções na nossa situação:
  • $ f(x) = \frac{1}{2} + x^{2} $ (função de cima)
  • $ g(x) = x $ (função de baixo)
  • Intervalo de integração: $ a = 0 $, $ b = 2 $

Passo 5

Substituindo na fórmula:
V = pi integral0^2 [ ( 12 + x^2 )^2 - x^2 ] dx

Passo 6

Vamos expandir o termo $ \left( \frac{1}{2} + x^{2} \right)^{2} $:
( 12 + x^2 )^2
Então, a expressão dentro da integral fica:
( 12 + x^2 )^2 = 14 + x^2 + x^4

Passo 7

Agora, a integral simplificada é:
V = pi integral0^2 ( 14 + x^4 ) dx
Vamos calcular essa integral:
integral ( 14 + x^4 ) dx = 14x + 15x^5

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
V = pi [ ( 14(2) + 15(2)^5 ) - ( 14(0) + 15(0)^5 ) ]
Simplificando:
V = pi ( 24 + 325 ) = pi ( 12 + 325 )

Passo 9

Vamos somar as frações:
12 + 325 = 510 + 6410 = 6910
Então,
V = 6910 pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ \frac{69}{10} \pi $ unidades cúbicas.

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