Encontre a área da região limitada pelo gráfico da curva
dada em coordenadas polares
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica envolvendo coordenadas polares. A gente precisa encontrar a área da região delimitada pela curva $ r = 3 + 2 \sin \theta $ para os ângulos $ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $. Para isso, vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares, que é essencial para calcular áreas de figuras definidas por equações circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, $ r $ é a função que define a curva, e $ \alpha $ e $ \beta $ são os limites dos ângulos que estamos considerando. No nosso caso, $ r = 3 + 2 \sin \theta $, $ \alpha = -\frac{\pi}{2} $ e $ \beta = \frac{\pi}{2} $.
Passo 3
Vamos substituir $ r $ na fórmula da área:
Agora, precisamos expandir o quadrado da expressão dentro da integral para facilitar a resolução.
Passo 4
Expandindo $ (3 + 2 \sin \theta)^2 $:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 6
Calculando cada integral separadamente:
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integral-pi2^pi2 12 sin theta , dtheta = -12 cos theta |-pi2^pi2 = -12 ( cos pi2 - cos ( -pi2 ) ) = -12 (0 - 0) = 0 -
integral-pi2^pi2 4 sin^2 theta , dtheta
Para integrar $ \sin^2 \theta $, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Aplicando os limites:
Passo 7
Agora, somando os resultados das integrais:
Resposta
A área da região limitada pela curva é $ \frac{11\pi}{2} $ unidades de área.