Encontre a área da região limitada pelo gráfico da curva r=3+2 sen theta dada em coordenadas polares (-pi2 <= theta <= pi2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica envolvendo coordenadas polares. A gente precisa encontrar a área da região delimitada pela curva $ r = 3 + 2 \sin \theta $ para os ângulos $ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $. Para isso, vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares, que é essencial para calcular áreas de figuras definidas por equações circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula é:
A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta
Aqui, $ r $ é a função que define a curva, e $ \alpha $ e $ \beta $ são os limites dos ângulos que estamos considerando. No nosso caso, $ r = 3 + 2 \sin \theta $, $ \alpha = -\frac{\pi}{2} $ e $ \beta = \frac{\pi}{2} $.

Passo 3

Vamos substituir $ r $ na fórmula da área:
r
Agora, precisamos expandir o quadrado da expressão dentro da integral para facilitar a resolução.

Passo 4

Expandindo $ (3 + 2 \sin \theta)^2 $:
(3 + 2 sin theta)^2
Então, a integral fica:
(3 + 2 sin theta)^2 = 9 + 12 sin theta + 4 sin^2 theta

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
A = 12 [ integral-pi2^pi2 9 , dtheta + integral-pi2^pi2 12 sin theta , dtheta + integral-pi2^pi2 4 sin^2 theta , dtheta ]

Passo 6

Calculando cada integral separadamente:
  1. integral-pi2^pi2 9 , dtheta = 9 theta |-pi2^pi2 = 9 ( pi2 - ( -pi2 ) ) = 9pi
  2. integral-pi2^pi2 12 sin theta , dtheta = -12 cos theta |-pi2^pi2 = -12 ( cos pi2 - cos ( -pi2 ) ) = -12 (0 - 0) = 0
  3. integral-pi2^pi2 4 sin^2 theta , dtheta
Para integrar $ \sin^2 \theta $, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2 theta
Então:
sin^2 theta = 1 - cos 2theta2
Aplicando os limites:
integral sin^2 theta , dtheta = integral 1 - cos 2theta2 , dtheta = 12 theta - 14 sin 2theta + C

Passo 7

Agora, somando os resultados das integrais:
A = 12 (9pi + 0 + 2pi) = 12 (11pi) = 11pi2

Resposta

A área da região limitada pela curva é $ \frac{11\pi}{2} $ unidades de área.

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