Determine o volume do sólido de rotação de
, com
variando de
a
em torno do eixo
.
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício de cálculo de volumes de sólidos de rotação. Aqui, a gente precisa encontrar o volume do sólido formado quando a curva $ y = x + 2 $, no intervalo de $ x = -3 $ a $ x = 3 $, gira em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica bem bacana na integral do cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método dos discos. Quando a gente tem uma função $ y = f(x) $ que gira em torno do eixo $ x $, o volume do sólido pode ser calculado integrando círculos (discos) cujas áreas são $ \pi y^2 $. A fórmula fica:
Aqui, $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que no nosso caso são de $ -3 $ a $ 3 $.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à nossa função $ y = x + 2 $. Primeiro, elevamos a função ao quadrado:
Então, substituindo na fórmula do volume, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral. Primeiro, expandimos a expressão dentro do integral:
Então, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos essa expressão de $ -3 $ a $ 3 $:
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = -3 $:
Subtraindo:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido de rotação é $ 42\pi $ unidades cúbicas.