Determine o volume do sólido de rotação de y=x+2, com x variando de -3 a 3 em torno do eixo x.

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de cálculo de volumes de sólidos de rotação. Aqui, a gente precisa encontrar o volume do sólido formado quando a curva $ y = x + 2 $, no intervalo de $ x = -3 $ a $ x = 3 $, gira em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica bem bacana na integral do cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método dos discos. Quando a gente tem uma função $ y = f(x) $ que gira em torno do eixo $ x $, o volume do sólido pode ser calculado integrando círculos (discos) cujas áreas são $ \pi y^2 $. A fórmula fica:
y = f(x)
Aqui, $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que no nosso caso são de $ -3 $ a $ 3 $.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa função $ y = x + 2 $. Primeiro, elevamos a função ao quadrado:
y = x + 2
Então, substituindo na fórmula do volume, temos:
(y)^2 = (x + 2)^2

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral. Primeiro, expandimos a expressão dentro do integral:
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
Então, a integral fica:
V = pi integral-3^3 (x^2 + 4x + 4) dx
Vamos integrar termo a termo:
integral (x^2 + 4x + 4) dx = x^33 + 2x^2 + 4x
Agora, avaliamos essa expressão de $ -3 $ a $ 3 $:
-3

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Para $ x = 3 $:
x = 3
Para $ x = -3 $:
3^33 + 2 times 3^2 + 4 times 3 = 273 + 18 + 12 = 9 + 18 + 12 = 39
Subtraindo:
x = -3
Então, o volume é:
(-3)^33 + 2 times (-3)^2 + 4 times (-3) = -273 + 18 - 12 = -9 + 18 - 12 = -3

Resposta

O volume do sólido de rotação é $ 42\pi $ unidades cúbicas.

Exercícios relacionados