Se
, onde
só depende da variável y, então a equação diferencial
tem o fator integrante da forma
Encontre o fator integrante
e resolva a equação
.
Passo 1
Temos a equação diferencial na forma
com
M(x,y)=3x^2y + 2xy + y^3 e N(x,y)=x^2 + y^2.
Do conteúdo de fatores integrantes, sabemos que se então
, e se
então
.
M(x,y)=3x^2y + 2xy + y^3 e N(x,y)=x^2 + y^2.
Do conteúdo de fatores integrantes, sabemos que se
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata à partida.
Passo 3
Agora tentamos fator integrante. Primeiro vemos
que não é função só de
. Em seguida calculamos
que é função apenas de
(na verdade constante). Logo podemos usar
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
para obter uma equação exata:
Agora
, garantindo exatidão.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos em
, tratando
como constante:
Passo 6
Para achar
, usamos
e igualamos a
. Assim
Resposta
A solução implícita é
onde