Se (Nx-My) / M=Q(y), onde Q(y) só depende da variável y, então a equação diferencial
M+N y^prime=0
tem o fator integrante da forma
mu(y)=e^integral Q(y) d y
Encontre o fator integrante mu(y) e resolva a equação
(3 x^2 y+2 x y+y^3) d x+(x^2+y^2) d y=0.

Passo 1

Temos a equação diferencial na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 com
M(x,y)=3x^2y + 2xy + y^3 e N(x,y)=x^2 + y^2.
Do conteúdo de fatores integrantes, sabemos que se (Nx - My)/M = Q(y) então mu(y)=e^integral Q(y),dy, e se (My - Nx)/N = P(x) então mu(x)=e^integral P(x),dx.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
My = partialpartial y(3x^2y + 2xy + y^3)=3x^2 + 2x + 3y^2,
Nx = partialpartial x(x^2 + y^2)=2x
Como My neq Nx, a equação não é exata à partida.

Passo 3

Agora tentamos fator integrante. Primeiro vemos
Nx - MyM = 2x - (3x^2 + 2x + 3y^2)3x^2y + 2xy + y^3,
que não é função só de y. Em seguida calculamos
My - NxN = (3x^2 + 2x + 3y^2) - 2xx^2 + y^2 = 3x^2 + 3y^2x^2 + y^2 = 3,
que é função apenas de x (na verdade constante). Logo podemos usar
mu(x) = e^integral 3,dx = e^3x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=e^3x para obter uma equação exata:
widetilde M = e^3x(3x^2y + 2xy + y^3),
widetilde N = e^3x(x^2 + y^2)
Agora partial widetilde M/partial y = partial widetilde N/partial x, garantindo exatidão.

Passo 5

Procuramos uma função potencial varphi(x,y) tal que
varphix = widetilde M = e^3x(3x^2y + 2xy + y^3)
Integramos em x, tratando y como constante:
varphi(x,y) = integral e^3x(3x^2y + 2xy + y^3),dx = e^3xl(x^2y + tfracy^33r) + h(y)

Passo 6

Para achar h(y), usamos
varphiy = e^3x(x^2 + y^2) + h'(y)
e igualamos a widetilde N = e^3x(x^2 + y^2). Assim
h'(y)=0 Rightarrow h(y)=constante

Resposta

A solução implícita é
e^3xl(x^2y + tfracy^33r)=C,
onde C é constante arbitrária, e o fator integrante usado foi mu(x)=e^3x.

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