Faça o gráfico da função abaixo seguindo o roteiro abaixo:
a) Especificar o domínio da função.
b) Encontrar as assintotas horizontais e verticais, se existirem.
c) Achar os intervalos em que f(x) é crescente ou decrescente, indicando os pontos críticos.
d) Encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem.
e) Estudar a concavidade, apontando os pontos de inflexão.
t(x)=e^-(x-1)^2

Passo 1

Estamos estudando a função t(x)=e^-(x-1)^2. O conteúdo envolve análise completa de funções: domínio, assíntotas, monotonicidade, extremos locais, concavidade e pontos de inflexão. Vamos precisar usar derivadas primeira e segunda e limites para descrever o comportamento da curva.

Passo 2

O domínio de t(x) é todos os reais, pois a exponencial está definida para qualquer x. Logo, Dom,t = (-infty,infty).

Passo 3

Para assíntotas verticais, não há nenhuma porque o domínio é inteiro. Para horizontais, calculamos limxtopminftye^-(x-1)^2=0. Portanto, y=0 é assíntota horizontal.

Passo 4

Derivada primeira:
t'(x)=ddxl(e^-(x-1)^2r)=e^-(x-1)^2cdot(-2)(x-1)=-2(x-1)e^-(x-1)^2

Passo 5

Ponto crítico em t'(x)=0 x=1. Para x<1, x-1<0 então t'(x)>0 (crescente). Para x>1, t'(x)<0 (decrescente).
Em x=1 há um máximo local: t(1)=e^0=1. Não há mínimos locais.

Passo 6

Derivada segunda:
$$t’’(x)=\frac{d}{dx}\bigl[-2(x-1)e{-(x-1){2}}\bigr]=e{-(x-1){2}}\bigl(4(x-1){2}-2\bigr)=2e{-(x-1){2}}\bigl(2(x-1){2}-1\bigr).
$$

Passo 7

Zero de t''(x) em 2(x-1)^2-1=0 leva a x=1pmtfrac1raiz2. Para $ |x-1|<1/\sqrt2$, |x-1|<1/raiz2 (côncavo para baixo). Para t''(x)<0, |x-1|>1/raiz2 (côncavo para cima). Esses são pontos de inflexão:
t''(x)>0

Resposta

Domínio: (-infty,infty). Assíntota horizontal: y=0. Crescente em (-infty,1), decrescente em (1,infty). Máximo local em (1,1). Côncavo para cima em (-infty,1-1/raiz2) e (1+1/raiz2,infty), côncavo para baixo em (1-1/raiz2,1+1/raiz2). Pontos de inflexão em l(1pm1/raiz2,e^-1/2r).

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