Faça o gráfico da função abaixo seguindo o roteiro abaixo:
a) Especificar o domínio da função.
b) Encontrar as assintotas horizontais e verticais, se existirem.
c) Achar os intervalos em que
é crescente ou decrescente, indicando os pontos críticos.
d) Encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem.
e) Estudar a concavidade, apontando os pontos de inflexão.
a) Especificar o domínio da função.
b) Encontrar as assintotas horizontais e verticais, se existirem.
c) Achar os intervalos em que
d) Encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem.
e) Estudar a concavidade, apontando os pontos de inflexão.
Passo 1
Estamos estudando a função
. O conteúdo envolve análise completa de funções: domínio, assíntotas, monotonicidade, extremos locais, concavidade e pontos de inflexão. Vamos precisar usar derivadas primeira e segunda e limites para descrever o comportamento da curva.
Passo 2
O domínio de
é todos os reais, pois a exponencial está definida para qualquer
. Logo,
.
Passo 3
Para assíntotas verticais, não há nenhuma porque o domínio é inteiro. Para horizontais, calculamos
. Portanto,
é assíntota horizontal.
Passo 4
Derivada primeira:
Passo 5
Ponto crítico em
dá
. Para
,
então
(crescente). Para
,
(decrescente).
Em há um máximo local:
. Não há mínimos locais.
Em
Passo 6
Derivada segunda:
$$t’’(x)=\frac{d}{dx}\bigl[-2(x-1)e{-(x-1){2}}\bigr]=e{-(x-1){2}}\bigl(4(x-1){2}-2\bigr)=2e{-(x-1){2}}\bigl(2(x-1){2}-1\bigr).
$$
Passo 7
Zero de
em
leva a
. Para $ |x-1|<1/\sqrt2$,
(côncavo para baixo). Para
,
(côncavo para cima). Esses são pontos de inflexão:
Resposta
Domínio:
. Assíntota horizontal:
. Crescente em
, decrescente em
. Máximo local em
. Côncavo para cima em
e
, côncavo para baixo em
. Pontos de inflexão em
.