Determine o volume do sólido
formado pelos pontos abaixo do plano
e e acima da região no plano
limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido S abaixo do plano x+y+z−10=0 e acima da região D no plano xy limitada pelas curvas y=x^2−2x+1 e y=1. O conteúdo é cálculo de volume por integração dupla, e vamos usar que z varia de z=0 até o plano z=10−x−y sobre a região D.
Passo 2
Precisamos descrever a região D. Como y=x2−2x+1=(x−1)2 e y=1, o ponto de interseção satisfaz (x−1)^2=1, ou seja x−1=±1, logo x∈[0,2]. Para cada x nesse intervalo, y varia de y=(x−1)^2 até y=1.
Passo 3
Montamos a integral do volume usando que em cada (x,y), a altura é z=10−x−y. Assim:
Passo 4
Calculamos primeiro a integral interna em y:
Passo 5
Ao simplificar a expressão resultante obtemos o integrando em x:
Agora integramos de x=0 a x=2: