Determine o volume do sólido S formado pelos pontos abaixo do plano x+y+z-10=0 e e acima da região no plano x y limitada pelas curvas y=x^2-2 x+1 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S abaixo do plano x+y+z−10=0 e acima da região D no plano xy limitada pelas curvas y=x^2−2x+1 e y=1. O conteúdo é cálculo de volume por integração dupla, e vamos usar que z varia de z=0 até o plano z=10−x−y sobre a região D.

Passo 2

Precisamos descrever a região D. Como y=x2−2x+1=(x−1)2 e y=1, o ponto de interseção satisfaz (x−1)^2=1, ou seja x−1=±1, logo x∈[0,2]. Para cada x nesse intervalo, y varia de y=(x−1)^2 até y=1.

Passo 3

Montamos a integral do volume usando que em cada (x,y), a altura é z=10−x−y. Assim:
V=integral duplaD(10−x−y),dA =integralx=0^2integraly=(x−1)^2^1(10−x−y),dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integraly=(x−1)^2^1(10−x−y),dy =(10−x)y-y^22g|y=(x−1)^2^1 = (10−x)-12 -l[(10−x)(x−1)^2 -(x−1)^42r]

Passo 5

Ao simplificar a expressão resultante obtemos o integrando em x:
(10−x)-tfrac12 - (10−x)(x−1)^2 + tfrac(x−1)^42 =tfrac12x^4 - x^3 -9x^2 +18x
Agora integramos de x=0 a x=2:
V=integral0^2l(tfrac12x^4 - x^3 -9x^2 +18xr),dx =l[tfracx^510 - tfracx^44 -3x^3 +9x^2r]0^2 =565

Resposta

565

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