Determine o volume do sólido
limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido $ S $ que é limitado pelo cilindro parabólico $ x = y^{2} $ e pelos planos $ z = x $, $ x = 1 $ e $ z = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Precisamos saber como configurar os limites de integração e escolher a ordem correta para integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos trabalhando. O cilindro parabólico $ x = y^{2} $ descreve uma parábola que se estende ao longo do eixo $ z $. Os planos que limitam o sólido são $ z = x $ (um plano inclinado), $ x = 1 $ (um plano vertical), e $ z = 0 $ (o plano $ xy $).
Passo 3
Para calcular o volume, vamos configurar uma integral tripla. Mas, como o sólido é limitado por essas superfícies, podemos simplificar usando inteiramente uma integral dupla que representa a área na base $ xy $ e depois multiplicar pela altura em $ z $.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para $ x $ e $ y $. A parábola $ x = y^{2} $ e o plano $ x = 1 $ nos dão os limites para $ x $. Para $ y $, resolvemos $ x = y^{2} $ quando $ x = 1 $, ou seja, $ y = \pm1 $. Então, $ y $ varia de $ -1 $ a $ 1 $, e para cada $ y $, $ x $ varia de $ y^{2} $ a $ 1 $.
Passo 5
A altura do sólido em cada ponto $ (x, y) $ é dada pela diferença entre os planos $ z = x $ e $ z = 0 $. Então, a altura é $ x - 0 = x $.
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla para o volume $ V $:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a $ x $:
Passo 8
Agora, substituímos na integral externa:
Passo 9
Calculamos a integral:
Então,
Resposta
O volume do sólido $ S $ é $ \frac{4}{5} $ unidades de volume.