Determine o volume do sólido S limitado pelo cilindro parabólico x=y^2 e pelos planos z=x, x=1 e z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido $ S $ que é limitado pelo cilindro parabólico $ x = y^{2} $ e pelos planos $ z = x $, $ x = 1 $ e $ z = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Precisamos saber como configurar os limites de integração e escolher a ordem correta para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos trabalhando. O cilindro parabólico $ x = y^{2} $ descreve uma parábola que se estende ao longo do eixo $ z $. Os planos que limitam o sólido são $ z = x $ (um plano inclinado), $ x = 1 $ (um plano vertical), e $ z = 0 $ (o plano $ xy $).

Passo 3

Para calcular o volume, vamos configurar uma integral tripla. Mas, como o sólido é limitado por essas superfícies, podemos simplificar usando inteiramente uma integral dupla que representa a área na base $ xy $ e depois multiplicar pela altura em $ z $.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para $ x $ e $ y $. A parábola $ x = y^{2} $ e o plano $ x = 1 $ nos dão os limites para $ x $. Para $ y $, resolvemos $ x = y^{2} $ quando $ x = 1 $, ou seja, $ y = \pm1 $. Então, $ y $ varia de $ -1 $ a $ 1 $, e para cada $ y $, $ x $ varia de $ y^{2} $ a $ 1 $.

Passo 5

A altura do sólido em cada ponto $ (x, y) $ é dada pela diferença entre os planos $ z = x $ e $ z = 0 $. Então, a altura é $ x - 0 = x $.

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla para o volume $ V $:
V

Passo 7

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a $ x $:
x

Passo 8

Agora, substituímos na integral externa:
V = integral-1^1 ( 12 - 12y^4 ) dy = 12 integral-1^1 (1 - y^4) , dy

Passo 9

Calculamos a integral:
integral-1^1 (1 - y^4) , dy = [ y - 15y^5 ]-1^1 = (1 - 15) - (-1 - 15(-1)^5) = (45) - (-1 + 15) = 45 + 45 = 85
Então,
V = 12 times 85 = 45

Resposta

O volume do sólido $ S $ é $ \frac{4}{5} $ unidades de volume.

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