Questão: (1,0 ponto)
Mostre que a série
é divergente.
Mostre que a série
Passo 1
O exercício pede para mostrarmos que a série
não converge, isto é, diverge. O conteúdo envolvido é teste de integral (ou teste de comparação com integral) para séries positivas, e vamos precisar verificar que a função
é contínua, positiva e decrescente a partir de certo ponto.
Passo 2
Primeiro, definimos a função
para
. Observamos que
nesse domínio. Para aplicar o teste da integral, mostramos que
é decrescente quando
. Calculamos a derivada:
Como
para
, temos
para
. Desta forma, a partir de
(que é maior que
),
é decrescente.
Passo 3
Agora aplicamos o teste da integral imprópria. Avaliamos
Fazendo a substituição direta ou reconhecendo que a primitiva de
é
, obtemos
Como essa integral diverge, pelo teste da integral a série
também diverge.
Passo 4
Por fim, como excluir ou incluir um número finito de termos (por exemplo, o termo
) não altera a convergência de uma série, concluímos que
diverge.
Resposta
A série
é divergente.