5^a Questão: (1,0 ponto)
Mostre que a série sumi=1^infty ln nn é divergente.

Passo 1

O exercício pede para mostrarmos que a série sumn=1^infty ln nn não converge, isto é, diverge. O conteúdo envolvido é teste de integral (ou teste de comparação com integral) para séries positivas, e vamos precisar verificar que a função f(x)=ln xx é contínua, positiva e decrescente a partir de certo ponto.

Passo 2

Primeiro, definimos a função f(x)=ln xx para x>=2. Observamos que f(x)>0 nesse domínio. Para aplicar o teste da integral, mostramos que f é decrescente quando x>e. Calculamos a derivada:
f'(x)=1-ln xx^2
Como ln x>1 para x>e, temos f'(x)<0 para x>e. Desta forma, a partir de x=3 (que é maior que e), f é decrescente.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da integral imprópria. Avaliamos
integral2^infty ln xx,dx
Fazendo a substituição direta ou reconhecendo que a primitiva de ln xx é (ln x)^22, obtemos
integral2^infty ln xx,dx = limttoinfty [ (ln x)^22 ]2^t = limttoinfty (ln t)^22 - (ln 2)^22 = +infty
Como essa integral diverge, pelo teste da integral a série sumn=2^infty ln nn também diverge.

Passo 4

Por fim, como excluir ou incluir um número finito de termos (por exemplo, o termo n=1) não altera a convergência de uma série, concluímos que
sumn=1^infty ln nn diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty ln nn é divergente.

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