Encontre o volume do solido limitado pelas superfícies z=x^2+y^2 e z=4-x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido que está entre as superfícies $ z = x^{2} + y^{2} $ e $ z = 4 - x^{2} - y^{2} $. Isso envolve geometria tridimensional e cálculo, especificamente integração para calcular volumes entre superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde essas duas superfícies se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
x^2 + y^2 = 4 - x^2 - y^2

Passo 3

Resolvendo essa equação para encontrar a curva de interseção:
2x^2 + 2y^2 = 4 x^2 + y^2 = 2
Então, a interseção ocorre no círculo $ x^{2} + y^{2} = 2 $.

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $. Nesse sistema, $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $, e o círculo de interseção fica $ r^{2} = 2 $, ou seja, $ r = \sqrt{2} $.

Passo 5

As superfícies em coordenadas polares ficam:
z1 = r^2 z2 = 4 - r^2
O volume entre essas superfícies é a integral dupla da diferença $ z_{2} - z_{1} $ sobre a área de integração.

Passo 6

Configurando a integral em coordenadas polares:
V = integral0^2pi integral0^raiz2 (4 - r^2 - r^2) , r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^raiz2 (4 - 2r^2) , r , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^raiz2 (4r - 2r^3) , dr = [ 2r^2 - 12r^4 ]0^raiz2 = 2(raiz2)^2 - 12(raiz2)^4 = 2 times 2 - 12 times 4 = 4 - 2 = 2

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a $ \theta $:
theta

Resposta

O volume do sólido limitado pelas superfícies $ z = x^{2} + y^{2} $ e $ z = 4 - x^{2} - y^{2} $ é $ 4\pi $ unidades cúbicas.

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