Encontre o volume do solido limitado pelas superfícies
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido que está entre as superfícies $ z = x^{2} + y^{2} $ e $ z = 4 - x^{2} - y^{2} $. Isso envolve geometria tridimensional e cálculo, especificamente integração para calcular volumes entre superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde essas duas superfícies se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo essa equação para encontrar a curva de interseção:
Então, a interseção ocorre no círculo $ x^{2} + y^{2} = 2 $.
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $. Nesse sistema, $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $, e o círculo de interseção fica $ r^{2} = 2 $, ou seja, $ r = \sqrt{2} $.
Passo 5
As superfícies em coordenadas polares ficam:
O volume entre essas superfícies é a integral dupla da diferença $ z_{2} - z_{1} $ sobre a área de integração.
Passo 6
Configurando a integral em coordenadas polares:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 8
Agora, integramos o resultado em relação a $ \theta $:
Resposta
O volume do sólido limitado pelas superfícies $ z = x^{2} + y^{2} $ e $ z = 4 - x^{2} - y^{2} $ é $ 4\pi $ unidades cúbicas.