Determine o volume do sólido S tal que:
Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
y=e^x+1 ; x=0 ; x=1, y=1, em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região do plano limitada pelas curvas
y = e^x + 1, x = 0, x = 1, y = 1
O conteúdo envolvido é o cálculo de volume por método das seções transversais (discos ou anéis). Vamos considerar fatias perpendiculares ao eixo x e montar um integral do tipo “anel”.

Passo 2

Em uma posição fixa xin[0,1], a seção transversal é um anel de raio externo
R(x)=e^x+1
e raio interno
r(x)=1
Pelo método dos anéis, o volume é
V=integral0^1pil[R(x)^2-r(x)^2r],dx

Passo 3

Calculamos o integrando:
R(x)^2-r(x)^2=(e^x+1)^2-1^2 =e^2x+2e^x+1-1 =e^2x+2e^x
Logo
V=piintegral0^1l(e^2x+2e^xr),dx

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral e^2x,dx=tfrac12e^2x, integral2e^x,dx=2e^x
Portanto,
integral0^1l(e^2x+2e^xr),dx =l[tfrac12e^2x+2e^xr]0^1 =12e^2+2e-l(12+2r) =12e^2+2e-52

Passo 5

Multiplicando por pi, obtemos
V =pil(12e^2+2e-52r) =pi2l(e^2+4e-5r)

Resposta

V=pi2l(e^2+4e-5r)

Exercícios relacionados